10.11 Exercices
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5. Montrer que si le polynˆ ome caract´ eristique Π a des racines simples, la matrice
R d´ efinie en (10.37) est inversible.
[Indication : elle co¨ ıncide avec la transpos´ ee de la matrice de Vandermonde o` u
x
j
i est remplac´ ee par r
i
j (voir Exercice 2, Chapitre 7).]
6. Les polynˆ omes de Legendre Li satisfont l’´ equation aux diff´ erences
(n + 1)Ln+1(x) − (2n + 1)xLn(x) + nLn−1(x) = 0
avec L0(x) = 1 et L1(x) = x (voir Section 9.1.2). On d´ efinit la fonction g´ en´ eratrice par F (z, x) =
∞
n=0 Pn(x)z
n . Montrer que F (z, x) = (1 − 2zx + z
2 )
−1/2 .
7. Montrer que la fonction gamma
Γ(z) =
∞
0
e
−t t
z−1 dt
(10.83)
pour z ∈ C de partie r´ eelle positive, est la solution de l’´ equation aux diff´ erences
Γ(z + 1) = zΓ(z)
[Indication : int´ egrer par parties.]
8. Etudier la m´ ethode multi-pas lin´ eaire
un+1 = αun + (1 − α)un−1 + 2hfn +
hα
2
[fn−1 − 3fn] ,
o` u α ∈ R.
9. Etudier la famille de m´ ethodes multi-pas lin´ eaires d´ ependant d’un param` etre α
d´ efinies par
un+1 = un + h[(1 −
α
2
)f (xn, un) +
α
2
f (xn+1, un+1)].
Consid´ erer la m´ ethode correspondant `
a α = 1 et l’appliquer au probl` eme de
Cauchy suivant :
y
(x) = −10y(x), x > 0,
y(0) = 1
Trouver les valeurs de h pour lesquelles cette m´ ethode est absolument stable.
[Solution : la m´ ethode correspondant `
a α = 1 est la seule ` a ˆ etre consistante,
c’est la m´ ethode de Crank-Nicolson.]
10. Les m´ ethodes d’Adams peuvent ˆ etre facilement g´ en´ eralis´ ees en int´ egrant entre
tn−r et tn+1 pour r ≥ 1. Montrer qu’on obtient alors des m´ ethodes de la forme
un+1 = un−r + h
p
j=−1
bj fn−j
et montrer que pour r = 1 on retrouve la m´ ethode du point milieu introduite
en (10.44) (les m´ ethodes de cette famille sont appel´ ees m´ ethodes de Nystron).