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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
dont la norme euclidienne diverge de mani` ere monotone d` es que t >
(12)
1/4
1.86 quand C 1 = 1, C 2 = 0, et les valeurs propres de A(t),
´ egales ` a (−1 ± 2i)/(2t), ont une partie r´ eelle n´ egative.
On doit donc aborder le cas non lin´ eaire ` a l’aide de techniques ad hoc, en
reformulant convenablement le concept de stabilit´ e lui-mˆ eme (voir [Lam91],
Chapitre 7).
10.11 Exercices
1. Montrer que la m´ ethode de Heun est d’ordre 2.
[Indication : remarquer que
E1 =
t n+1
tn
f (s, y(s))ds −
h
2
[f (tn, yn) + f (tn+1, yn+1)]
et
E2 =
h
2
{[f (tn+1, yn+1) − f (tn+1, yn + hf (tn, yn))]} ,
o` u E1 est l’erreur due `
a l’int´ egration num´ erique par la m´ ethode du trap` eze et
E2 est l’erreur li´ ee ` a la m´ ethode d’Euler progressive.]
2. Montrer que la m´ ethode de Crank-Nicolson est d’ordre 2.
[Solution : D’apr` es (8.12), et en supposant que f ∈ C
2 (I) on a, pour un certain
ξn entre tn et tn+1
yn+1 = yn +
h
2
[f (tn, yn) + f (tn+1, yn+1)] −
h
3
12
f
(ξn, y(ξn)),
ou encore,
yn+1 − yn
h
=
1
2
[f (tn, yn) + f (tn+1, yn+1)] −
h
2
12
f
(ξn, y(ξn)).
(10.82)
La formule (10.9) est donc obtenue `
a partir de (10.82) en n´ egligeant le dernier
terme qui est d’ordre 2 par rapport `
a h.
3. R´ esoudre l’´ equation aux diff´ erences un+4 − 6un+3 + 14un+2 − 16un+1 + 8un = n
avec les conditions initiales u0 = 1, u1 = 2, u2 = 3 et u3 = 4.
[Solution : un = 2
n (n/4 − 1) + 2
(n−2)/2 sin(π/4) + n + 2.]
4. Montrer que si le polynˆ ome caract´ eristique Π d´ efini en (10.30) a des racines
simples, alors toute solution de l’´ equation aux diff´ erences associ´ ee peut ˆ etre
´ ecrite sous la forme (10.32).
[Indication : remarquer qu’une solution quelconque yn+k est compl` etement
d´ etermin´ ee par les valeurs initiales y0, . . . , yk−1. De plus, si les racines ri de Π
sont distinctes, il existe k coefficients αi uniques tels que α1r
j
1 + . . . + αkr
j
k = yj
avec j = 0, . . . , k − 1. ]
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
dont la norme euclidienne diverge de mani` ere monotone d` es que t >
(12)
1/4
1.86 quand C 1 = 1, C 2 = 0, et les valeurs propres de A(t),
´ egales ` a (−1 ± 2i)/(2t), ont une partie r´ eelle n´ egative.
On doit donc aborder le cas non lin´ eaire ` a l’aide de techniques ad hoc, en
reformulant convenablement le concept de stabilit´ e lui-mˆ eme (voir [Lam91],
Chapitre 7).
10.11 Exercices
1. Montrer que la m´ ethode de Heun est d’ordre 2.
[Indication : remarquer que
E1 =
t n+1
tn
f (s, y(s))ds −
h
2
[f (tn, yn) + f (tn+1, yn+1)]
et
E2 =
h
2
{[f (tn+1, yn+1) − f (tn+1, yn + hf (tn, yn))]} ,
o` u E1 est l’erreur due `
a l’int´ egration num´ erique par la m´ ethode du trap` eze et
E2 est l’erreur li´ ee ` a la m´ ethode d’Euler progressive.]
2. Montrer que la m´ ethode de Crank-Nicolson est d’ordre 2.
[Solution : D’apr` es (8.12), et en supposant que f ∈ C
2 (I) on a, pour un certain
ξn entre tn et tn+1
yn+1 = yn +
h
2
[f (tn, yn) + f (tn+1, yn+1)] −
h
3
12
f
(ξn, y(ξn)),
ou encore,
yn+1 − yn
h
=
1
2
[f (tn, yn) + f (tn+1, yn+1)] −
h
2
12
f
(ξn, y(ξn)).
(10.82)
La formule (10.9) est donc obtenue `
a partir de (10.82) en n´ egligeant le dernier
terme qui est d’ordre 2 par rapport `
a h.
3. R´ esoudre l’´ equation aux diff´ erences un+4 − 6un+3 + 14un+2 − 16un+1 + 8un = n
avec les conditions initiales u0 = 1, u1 = 2, u2 = 3 et u3 = 4.
[Solution : un = 2
n (n/4 − 1) + 2
(n−2)/2 sin(π/4) + n + 2.]
4. Montrer que si le polynˆ ome caract´ eristique Π d´ efini en (10.30) a des racines
simples, alors toute solution de l’´ equation aux diff´ erences associ´ ee peut ˆ etre
´ ecrite sous la forme (10.32).
[Indication : remarquer qu’une solution quelconque yn+k est compl` etement
d´ etermin´ ee par les valeurs initiales y0, . . . , yk−1. De plus, si les racines ri de Π
sont distinctes, il existe k coefficients αi uniques tels que α1r
j
1 + . . . + αkr
j
k = yj
avec j = 0, . . . , k − 1. ]