10.10 Probl` emes raides
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que pour les probl` emes non lin´ eaires, les m´ ethodes implicites conduisent `
a des
´ equations non lin´ eaires, et qu’il est essentiel, pour r´ esoudre ces derni` eres, de
choisir des m´ ethodes num´ eriques it´ eratives dont la convergence ne d´ epend pas
de la valeur de h.
Par exemple, dans le cas des m´ ethodes multi-pas, on a vu que l’utilisation
d’un algorithme de point fixe impose sur h la contrainte (10.64) qui est fonction
de la constante de Lipschitz L de f. Dans le cas d’un syst` eme lin´ eaire, cette
contrainte est
L ≥ max
i=1,...,n
|λ i |,
de sorte que (10.64) implique une forte limitation sur h (qui peut ˆ etre mˆ eme
plus s´ ev` ere que celle requise pour assurer la stabilit´ e d’un sch´ ema explicite).
Une mani` ere de contourner ce probl` eme consiste ` a recourir `
a une m´ ethode
de Newton ou `
a une de ses variantes. La barri` ere de Dahlquist impose une
forte limitation dans l’utilisation des m´ ethodes multi-pas, la seule exception
´ etant les sch´ emas BDF, qui, comme on l’a vu, sont θ-stables pour p ≤ 5 (pour
un nombre de pas plus grand, ils ne sont mˆ eme pas z´ ero-stables). La situation
devient bien plus favorable quand on consid` ere les m´ ethodes RK implicites,
comme on l’a observ´ e ` a la fin de la Section 10.8.3.
La th´ eorie d´ evelopp´ ee jusqu’` a pr´ esent n’est valable en toute rigueur que si
le syst` eme est lin´ eaire. Dans le cas non lin´ eaire, consid´ erons le probl` eme de
Cauchy (10.74), pour lequel la fonction F : R × R
n
→ R
n est suppos´ ee diff´ erentiable. Une strat´ egie possible pour ´ etudier sa stabilit´ e consiste ` a lin´ eariser
le syst` eme dans un voisinage de la solution exacte :
y
(t) = F(t, y(t)) + J F (t, y(t)) [y − y(t)] .
La technique ci-dessus peut ˆ etre dangereuse quand les valeurs propres de J F
ne suffisent pas ` a d´ ecrire le comportement de la solution exacte du probl` eme
original. On peut effectivement trouver des contre-exemples pour lesquels :
1. J F a des valeurs propres complexes conjugu´ ees, tandis que la solution de
(10.74) n’a pas un comportement oscillant ;
2. J F a des valeurs propres r´ eelles positives, tandis que la solution de (10.74)
ne croˆ ıt pas avec t de mani` ere monotone ;
3. J F a des valeurs propres de parties r´ eelles n´ egatives, tandis que la solution
de (10.74) ne d´ ecroˆ ıt pas avec t de mani` ere monotone.
Par exemple, le syst` eme
y
=
⎡
⎢
⎣
−
1
2t
2
t 3
−
t
2
−
1
2t
⎤
⎥
⎦ y = A(t)y,
pour t ≥ 1, a pour solution
y(t) = C 1
t
−3/2
−
1
2 t
1/2
+ C 2
2t
−3/2 log t
t
1/2 (1 − log t)
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que pour les probl` emes non lin´ eaires, les m´ ethodes implicites conduisent `
a des
´ equations non lin´ eaires, et qu’il est essentiel, pour r´ esoudre ces derni` eres, de
choisir des m´ ethodes num´ eriques it´ eratives dont la convergence ne d´ epend pas
de la valeur de h.
Par exemple, dans le cas des m´ ethodes multi-pas, on a vu que l’utilisation
d’un algorithme de point fixe impose sur h la contrainte (10.64) qui est fonction
de la constante de Lipschitz L de f. Dans le cas d’un syst` eme lin´ eaire, cette
contrainte est
L ≥ max
i=1,...,n
|λ i |,
de sorte que (10.64) implique une forte limitation sur h (qui peut ˆ etre mˆ eme
plus s´ ev` ere que celle requise pour assurer la stabilit´ e d’un sch´ ema explicite).
Une mani` ere de contourner ce probl` eme consiste ` a recourir `
a une m´ ethode
de Newton ou `
a une de ses variantes. La barri` ere de Dahlquist impose une
forte limitation dans l’utilisation des m´ ethodes multi-pas, la seule exception
´ etant les sch´ emas BDF, qui, comme on l’a vu, sont θ-stables pour p ≤ 5 (pour
un nombre de pas plus grand, ils ne sont mˆ eme pas z´ ero-stables). La situation
devient bien plus favorable quand on consid` ere les m´ ethodes RK implicites,
comme on l’a observ´ e ` a la fin de la Section 10.8.3.
La th´ eorie d´ evelopp´ ee jusqu’` a pr´ esent n’est valable en toute rigueur que si
le syst` eme est lin´ eaire. Dans le cas non lin´ eaire, consid´ erons le probl` eme de
Cauchy (10.74), pour lequel la fonction F : R × R
n
→ R
n est suppos´ ee diff´ erentiable. Une strat´ egie possible pour ´ etudier sa stabilit´ e consiste ` a lin´ eariser
le syst` eme dans un voisinage de la solution exacte :
y
(t) = F(t, y(t)) + J F (t, y(t)) [y − y(t)] .
La technique ci-dessus peut ˆ etre dangereuse quand les valeurs propres de J F
ne suffisent pas ` a d´ ecrire le comportement de la solution exacte du probl` eme
original. On peut effectivement trouver des contre-exemples pour lesquels :
1. J F a des valeurs propres complexes conjugu´ ees, tandis que la solution de
(10.74) n’a pas un comportement oscillant ;
2. J F a des valeurs propres r´ eelles positives, tandis que la solution de (10.74)
ne croˆ ıt pas avec t de mani` ere monotone ;
3. J F a des valeurs propres de parties r´ eelles n´ egatives, tandis que la solution
de (10.74) ne d´ ecroˆ ıt pas avec t de mani` ere monotone.
Par exemple, le syst` eme
y
=
⎡
⎢
⎣
−
1
2t
2
t 3
−
t
2
−
1
2t
⎤
⎥
⎦ y = A(t)y,
pour t ≥ 1, a pour solution
y(t) = C 1
t
−3/2
−
1
2 t
1/2
+ C 2
2t
−3/2 log t
t
1/2 (1 − log t)