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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
o` u C 1 , . . . , C n sont n constantes, {v j } est une base constitu´ ee des vecteurs
propres de A et ψ(t) est une solution particuli` ere de l’´ equation diff´ erentielle.
Dans toute cette section, nous supposerons Reλ j < 0 pour tout j.
Quand t → ∞, la solution y tend vers la solution particuli` ere ψ. On
peut donc interpr´ eter ψ comme ´ etant la solution stationnaire (c’est-` a-dire la
solution atteinte en temps infini) et y hom comme ´ etant la solution transitoire
(c’est-` a-dire la solution pour t fini). Faisons l’hypoth` ese qu’on ne s’int´ eresse
qu’` a la solution stationnaire. Si on utilise un sch´ ema num´ erique ayant une
r´ egion de stabilit´ e absolue born´ ee, le pas de discr´ etisation h est soumis ` a une
condition d´ ependant du module maximum des valeurs propres de A. D’un
autre cˆ ot´ e, plus ce module est grand, plus l’intervalle de temps sur lequel la
composante de la solution varie significativement est petit. On est donc face `
a
une sorte de paradoxe : le sch´ ema est contraint d’utiliser un petit pas de temps
pour calculer une composante de la solution qui est quasiment constante pour
des grandes valeurs de t.
Plus pr´ ecis´ ement, supposons que
σ ≤ Reλ j ≤ τ < 0
∀j = 1, . . . , n
(10.81)
et introduisons le quotient de raideur r s = σ/τ . On dit que le syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires lin´ eaires est raide si les valeurs propres de la
matrice A ont toutes une partie r´ eelle n´ egative et si r s 1.
N´ eanmoins, se limiter ` a l’examen du spectre de A pour caract´ eriser la raideur
d’un probl` eme peut pr´ esenter quelques inconv´ enients. Par exemple, quand
σ 0, le quotient de raideur peut ˆ etre tr` es grand alors que le probl` eme
n’est “vraiment” raide que si τ est lui aussi tr` es grand. De plus, des conditions
initiales particuli` eres peuvent affecter la raideur du probl` eme (par exemple, en
les choisissant de mani` ere ` a ce que les constantes multipliant les composantes
“raides” soient nulles).
Pour cette raison, certains auteurs jugent insatisfaisante la pr´ ec´ edente d´ efinition de la raideur d’un probl` eme, tout en reconnaissant l’impossibilit´ e d’´ etablir avec pr´ ecision ce qu’on entend par ce terme. Nous nous contenterons de
mentionner une seule d´ efinition alternative, qui pr´ esente l’int´ erˆ et de mettre
l’accent sur ce qu’on observe en pratique dans un probl` eme raide.
D´ efinition 10.14 (d’apr` es [Lam91], p. 220) Un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires est raide s’il force une m´ ethode num´ erique ayant une r´ egion
de stabilit´ e absolue de taille finie `
a utiliser un pas de discr´ etisation excessivement petit compte tenu de la r´ egularit´ e de la solution exacte, quelle que soit
la condition initiale pour laquelle le probl` eme admet une solution.
D’apr` es cette d´ efinition, il est clair qu’aucune m´ ethode conditionnellement
absolument stable n’est adapt´ ee ` a la r´ esolution d’un probl` eme raide. Ceci nous
am` ene ` a utiliser des m´ ethodes implicites (p. ex. de Runge-Kutta ou multipas) qui sont plus coˆ uteuses que les sch´ emas explicites mais qui poss` edent
des r´ egions de stabilit´ e absolue de taille infinie. Il faut n´ eanmoins rappeler
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
o` u C 1 , . . . , C n sont n constantes, {v j } est une base constitu´ ee des vecteurs
propres de A et ψ(t) est une solution particuli` ere de l’´ equation diff´ erentielle.
Dans toute cette section, nous supposerons Reλ j < 0 pour tout j.
Quand t → ∞, la solution y tend vers la solution particuli` ere ψ. On
peut donc interpr´ eter ψ comme ´ etant la solution stationnaire (c’est-` a-dire la
solution atteinte en temps infini) et y hom comme ´ etant la solution transitoire
(c’est-` a-dire la solution pour t fini). Faisons l’hypoth` ese qu’on ne s’int´ eresse
qu’` a la solution stationnaire. Si on utilise un sch´ ema num´ erique ayant une
r´ egion de stabilit´ e absolue born´ ee, le pas de discr´ etisation h est soumis ` a une
condition d´ ependant du module maximum des valeurs propres de A. D’un
autre cˆ ot´ e, plus ce module est grand, plus l’intervalle de temps sur lequel la
composante de la solution varie significativement est petit. On est donc face `
a
une sorte de paradoxe : le sch´ ema est contraint d’utiliser un petit pas de temps
pour calculer une composante de la solution qui est quasiment constante pour
des grandes valeurs de t.
Plus pr´ ecis´ ement, supposons que
σ ≤ Reλ j ≤ τ < 0
∀j = 1, . . . , n
(10.81)
et introduisons le quotient de raideur r s = σ/τ . On dit que le syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires lin´ eaires est raide si les valeurs propres de la
matrice A ont toutes une partie r´ eelle n´ egative et si r s 1.
N´ eanmoins, se limiter ` a l’examen du spectre de A pour caract´ eriser la raideur
d’un probl` eme peut pr´ esenter quelques inconv´ enients. Par exemple, quand
σ 0, le quotient de raideur peut ˆ etre tr` es grand alors que le probl` eme
n’est “vraiment” raide que si τ est lui aussi tr` es grand. De plus, des conditions
initiales particuli` eres peuvent affecter la raideur du probl` eme (par exemple, en
les choisissant de mani` ere ` a ce que les constantes multipliant les composantes
“raides” soient nulles).
Pour cette raison, certains auteurs jugent insatisfaisante la pr´ ec´ edente d´ efinition de la raideur d’un probl` eme, tout en reconnaissant l’impossibilit´ e d’´ etablir avec pr´ ecision ce qu’on entend par ce terme. Nous nous contenterons de
mentionner une seule d´ efinition alternative, qui pr´ esente l’int´ erˆ et de mettre
l’accent sur ce qu’on observe en pratique dans un probl` eme raide.
D´ efinition 10.14 (d’apr` es [Lam91], p. 220) Un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires est raide s’il force une m´ ethode num´ erique ayant une r´ egion
de stabilit´ e absolue de taille finie `
a utiliser un pas de discr´ etisation excessivement petit compte tenu de la r´ egularit´ e de la solution exacte, quelle que soit
la condition initiale pour laquelle le probl` eme admet une solution.
D’apr` es cette d´ efinition, il est clair qu’aucune m´ ethode conditionnellement
absolument stable n’est adapt´ ee ` a la r´ esolution d’un probl` eme raide. Ceci nous
am` ene ` a utiliser des m´ ethodes implicites (p. ex. de Runge-Kutta ou multipas) qui sont plus coˆ uteuses que les sch´ emas explicites mais qui poss` edent
des r´ egions de stabilit´ e absolue de taille infinie. Il faut n´ eanmoins rappeler