10.10 Probl` emes raides
415
avec A∈ R
n×n . On suppose que A poss` ede n valeurs propres distinctes λ j ,
j = 1, . . . , n. La solution y est alors donn´ ee par
y(t) =
n
j=1
C j e
λj t v j ,
(10.78)
o` u C 1 , . . . , C n sont des constantes et {v j } est une base form´ ee des vecteurs
propres de A associ´ es aux valeurs propres λ j pour j = 1, . . ., n. La solution
est d´ etermin´ ee en se donnant n conditions initiales.
Du point de vue num´ erique, les m´ ethodes introduites dans le cas scalaire
peuvent ˆ etre ´ etendues aux syst` emes. Il est par contre plus d´ elicat de g´ en´ eraliser la th´ eorie d´ evelopp´ ee pour la stabilit´ e absolue. Pour cela, consid´ erons
le syst` eme (10.77). Comme on l’a vu pr´ ec´ edemment, la propri´ et´ e de stabilit´ e
absolue concerne le comportement de la solution num´ erique quand t tend vers
l’infini dans le cas o` u la solution du probl` eme (10.74) satisfait
y(t) → 0 quand t → ∞.
(10.79)
Au regard de (10.78), la condition (10.79) est satisfaite si les parties r´ eelles
des valeurs propres de A sont toutes n´ egatives, car alors
e
λj t = e
Reλjt (cos(Imλ j ) + i sin(Imλ i )) → 0 quand t → ∞.
Puisque A poss` ede n valeurs propres distinctes, il existe une matrice inversible
Q telle que Λ = Q
−1 AQ, Λ ´ etant la matrice diagonale dont les coefficients sont
les valeurs propres de A (voir Section 1.8).
En introduisant la variable auxiliaire z = Q
−1 y, le syst` eme original peut
donc ˆ etre transform´ e en
z
= Λz.
(10.80)
La matrice Λ ´ etant diagonale, les r´ esultats valables dans le cas scalaire s’appliquent imm´ ediatement au cas vectoriel en consid´ erant chaque ´ equation (scalaire) du syst` eme (10.80).
10.10 Probl` emes raides
Consid´ erons un syst` eme non homog` ene d’´ equations diff´ erentielles ordinaires
lin´ eaires ` a coefficients constants :
y
(t) = Ay(t) + ϕ(t)
avecA∈ R
n×n , ϕ(t) ∈ R
n ,
o` u on suppose que A poss` ede n valeurs propres distinctes λ j , j = 1, . . . , n. On
sait qu’alors
y(t) =
n
j=1
C j e
λjt v j + ψ(t) = y hom (t) + ψ(t),
415
avec A∈ R
n×n . On suppose que A poss` ede n valeurs propres distinctes λ j ,
j = 1, . . . , n. La solution y est alors donn´ ee par
y(t) =
n
j=1
C j e
λj t v j ,
(10.78)
o` u C 1 , . . . , C n sont des constantes et {v j } est une base form´ ee des vecteurs
propres de A associ´ es aux valeurs propres λ j pour j = 1, . . ., n. La solution
est d´ etermin´ ee en se donnant n conditions initiales.
Du point de vue num´ erique, les m´ ethodes introduites dans le cas scalaire
peuvent ˆ etre ´ etendues aux syst` emes. Il est par contre plus d´ elicat de g´ en´ eraliser la th´ eorie d´ evelopp´ ee pour la stabilit´ e absolue. Pour cela, consid´ erons
le syst` eme (10.77). Comme on l’a vu pr´ ec´ edemment, la propri´ et´ e de stabilit´ e
absolue concerne le comportement de la solution num´ erique quand t tend vers
l’infini dans le cas o` u la solution du probl` eme (10.74) satisfait
y(t) → 0 quand t → ∞.
(10.79)
Au regard de (10.78), la condition (10.79) est satisfaite si les parties r´ eelles
des valeurs propres de A sont toutes n´ egatives, car alors
e
λj t = e
Reλjt (cos(Imλ j ) + i sin(Imλ i )) → 0 quand t → ∞.
Puisque A poss` ede n valeurs propres distinctes, il existe une matrice inversible
Q telle que Λ = Q
−1 AQ, Λ ´ etant la matrice diagonale dont les coefficients sont
les valeurs propres de A (voir Section 1.8).
En introduisant la variable auxiliaire z = Q
−1 y, le syst` eme original peut
donc ˆ etre transform´ e en
z
= Λz.
(10.80)
La matrice Λ ´ etant diagonale, les r´ esultats valables dans le cas scalaire s’appliquent imm´ ediatement au cas vectoriel en consid´ erant chaque ´ equation (scalaire) du syst` eme (10.80).
10.10 Probl` emes raides
Consid´ erons un syst` eme non homog` ene d’´ equations diff´ erentielles ordinaires
lin´ eaires ` a coefficients constants :
y
(t) = Ay(t) + ϕ(t)
avecA∈ R
n×n , ϕ(t) ∈ R
n ,
o` u on suppose que A poss` ede n valeurs propres distinctes λ j , j = 1, . . . , n. On
sait qu’alors
y(t) =
n
j=1
C j e
λjt v j + ψ(t) = y hom (t) + ψ(t),