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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
−4
−3
−2
−1
0
1
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
s=1
s=2
s=4
s=3
Fig. 10.10. R´ egions de stabilit´ e absolue pour les m´ ethodes RK explicites `
a s ´ etapes,
avec s = 1, . . . , 4. Le trac´ e ne montre que la partie Im(hλ) ≥ 0 car les r´ egions sont
sym´ etriques par rapport ` a l’axe r´ eel
10.9 Syst` emes d’´ equations diff´ erentielles ordinaires
Consid´ erons le syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires du premier ordre
y
= F(t, y),
(10.74)
o` u F : R × R
n
→ R
n est une fonction vectorielle donn´ ee et y ∈ R
n est
le vecteur solution qui d´ epend de n constantes arbitraires fix´ ees par les n
conditions initiales
y(t 0 ) = y 0 .
(10.75)
Rappelons la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 10.7 Soit F : R × R
n
→ R
n une fonction continue sur D =
[t 0 , T ] × R
n , o` u t 0 et T sont finis. S’il existe une constante positive L telle que
F(t, y) − F(t, ¯
y) ≤ Ly − ¯
y
(10.76)
pour tout (t, y) et (t, ¯
y) ∈ D, alors, pour tout y 0 ∈ R
n il existe une unique
fonction y, continue et diff´ erentiable par rapport `
a t, solution du probl` eme de
Cauchy (10.74)-(10.75).
La condition (10.76) exprime le fait que F est lipschitzienne par rapport `
a sa
seconde variable.
Il est rarement possible d’´ ecrire de mani` ere analytique la solution du syst` eme (10.74), mais on peut le faire dans des cas tr` es particuliers, par exemple
quand le syst` eme est de la forme
y
(t) = Ay(t),
(10.77)
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
−4
−3
−2
−1
0
1
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
s=1
s=2
s=4
s=3
Fig. 10.10. R´ egions de stabilit´ e absolue pour les m´ ethodes RK explicites `
a s ´ etapes,
avec s = 1, . . . , 4. Le trac´ e ne montre que la partie Im(hλ) ≥ 0 car les r´ egions sont
sym´ etriques par rapport ` a l’axe r´ eel
10.9 Syst` emes d’´ equations diff´ erentielles ordinaires
Consid´ erons le syst` eme d’´ equations diff´ erentielles ordinaires du premier ordre
y
= F(t, y),
(10.74)
o` u F : R × R
n
→ R
n est une fonction vectorielle donn´ ee et y ∈ R
n est
le vecteur solution qui d´ epend de n constantes arbitraires fix´ ees par les n
conditions initiales
y(t 0 ) = y 0 .
(10.75)
Rappelons la propri´ et´ e suivante :
Propri´ et´ e 10.7 Soit F : R × R
n
→ R
n une fonction continue sur D =
[t 0 , T ] × R
n , o` u t 0 et T sont finis. S’il existe une constante positive L telle que
F(t, y) − F(t, ¯
y) ≤ Ly − ¯
y
(10.76)
pour tout (t, y) et (t, ¯
y) ∈ D, alors, pour tout y 0 ∈ R
n il existe une unique
fonction y, continue et diff´ erentiable par rapport `
a t, solution du probl` eme de
Cauchy (10.74)-(10.75).
La condition (10.76) exprime le fait que F est lipschitzienne par rapport `
a sa
seconde variable.
Il est rarement possible d’´ ecrire de mani` ere analytique la solution du syst` eme (10.74), mais on peut le faire dans des cas tr` es particuliers, par exemple
quand le syst` eme est de la forme
y
(t) = Ay(t),
(10.77)