10.8 M´ ethodes de Runge-Kutta
413
10.8.3 R´ egions de stabilit´ e absolue des m´ ethodes RK
Une m´ ethode RK `
a s ´ etapes appliqu´ ee au probl` eme mod` ele (10.24) donne
K i = λ
⎛
⎝ u n + h
s
j=1
a ij K j
⎞
⎠ , u n+1 = u n + h
s
i=1
b i K i ,
(10.73)
c’est-` a-dire une ´ equation aux diff´ erences du premier ordre. Si K et 1 sont
respectivement les vecteurs de composantes [K 1 , . . . , K s ]
T et [1, . . ., 1]
T , alors
(10.73) devient
K = λ(u n 1 + hAK), u n+1 = u n + hb
T K,
d’o` u K = (I − hλA)
−1 1u n et
u n+1 =
1 + hλb
T (I − hλA)
−1 1
u n = R(hλ)u n ,
o` u R(hλ) est la fonction de stabilit´ e.
La m´ ethode RK est absolument stable (i.e. la suite {u n } satisfait (10.25))
si et seulement si |R(hλ)| < 1, et sa r´ egion de stabilit´ e absolue est donn´ ee par
A = {z = hλ ∈ C tels que |R(hλ)| < 1} .
Si la m´ ethode est explicite, A est triangulaire inf´ erieure stricte et la fonction
R peut s’´ ecrire sous la forme suivante (voir [DV84])
R(hλ) =
d´ et(I − hλA + hλ1b
T )
d´ et(I − hλA)
.
Ainsi, puisque d´ et(I − hλA) = 1, R(hλ) est un polynˆ ome en la variable hλ,
et |R(hλ)| ne peut pas ˆ etre inf´ erieur `
a 1 pour toutes les valeurs de hλ. Par
cons´ equent, A ne peut jamais ˆ etre non born´ e pour une m´ ethode RK explicite.
Dans le cas particulier d’une m´ ethode RK explicite d’ordre s = 1, . . ., 4,
on obtient [Lam91]
R(hλ) = 1 + hλ +
1
2
(hλ)
2 + . . . +
1
s!
(hλ)
s .
Les r´ egions de stabilit´ e absolue correspondantes sont dessin´ ees sur la Figure 10.10. Remarquer que, contrairement aux m´ ethodes multi-pas, la taille
des r´ egions de stabilit´ e absolue des m´ ethodes RK augmente quand l’ordre
augmente.
Notons pour finir que les r´ egions de stabilit´ e absolue des m´ ethodes RK explicites peuvent ne pas ˆ etre connexes ; voir l’Exercice 13 pour un exemple.
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10.8.3 R´ egions de stabilit´ e absolue des m´ ethodes RK
Une m´ ethode RK `
a s ´ etapes appliqu´ ee au probl` eme mod` ele (10.24) donne
K i = λ
⎛
⎝ u n + h
s
j=1
a ij K j
⎞
⎠ , u n+1 = u n + h
s
i=1
b i K i ,
(10.73)
c’est-` a-dire une ´ equation aux diff´ erences du premier ordre. Si K et 1 sont
respectivement les vecteurs de composantes [K 1 , . . . , K s ]
T et [1, . . ., 1]
T , alors
(10.73) devient
K = λ(u n 1 + hAK), u n+1 = u n + hb
T K,
d’o` u K = (I − hλA)
−1 1u n et
u n+1 =
1 + hλb
T (I − hλA)
−1 1
u n = R(hλ)u n ,
o` u R(hλ) est la fonction de stabilit´ e.
La m´ ethode RK est absolument stable (i.e. la suite {u n } satisfait (10.25))
si et seulement si |R(hλ)| < 1, et sa r´ egion de stabilit´ e absolue est donn´ ee par
A = {z = hλ ∈ C tels que |R(hλ)| < 1} .
Si la m´ ethode est explicite, A est triangulaire inf´ erieure stricte et la fonction
R peut s’´ ecrire sous la forme suivante (voir [DV84])
R(hλ) =
d´ et(I − hλA + hλ1b
T )
d´ et(I − hλA)
.
Ainsi, puisque d´ et(I − hλA) = 1, R(hλ) est un polynˆ ome en la variable hλ,
et |R(hλ)| ne peut pas ˆ etre inf´ erieur `
a 1 pour toutes les valeurs de hλ. Par
cons´ equent, A ne peut jamais ˆ etre non born´ e pour une m´ ethode RK explicite.
Dans le cas particulier d’une m´ ethode RK explicite d’ordre s = 1, . . ., 4,
on obtient [Lam91]
R(hλ) = 1 + hλ +
1
2
(hλ)
2 + . . . +
1
s!
(hλ)
s .
Les r´ egions de stabilit´ e absolue correspondantes sont dessin´ ees sur la Figure 10.10. Remarquer que, contrairement aux m´ ethodes multi-pas, la taille
des r´ egions de stabilit´ e absolue des m´ ethodes RK augmente quand l’ordre
augmente.
Notons pour finir que les r´ egions de stabilit´ e absolue des m´ ethodes RK explicites peuvent ne pas ˆ etre connexes ; voir l’Exercice 13 pour un exemple.