412
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
coefficients K i co¨ ıncident, cette diff´ erence est donn´ ee par h
s
i=1 E i K i et ne
requiert donc pas d’´ evaluations fonctionnelles suppl´ ementaires.
Remarquer que si la solution u n+1 calcul´ ee par le sch´ ema d’ordre p est
utilis´ ee pour initialiser le sch´ ema au pas de temps n + 2, la m´ ethode sera
globalement d’ordre p. En revanche, si on prend la solution calcul´ ee par le
sch´ ema d’ordre p + 1, le sch´ ema r´ esultant sera d’ordre p + 1 (exactement
comme pour les m´ ethodes de type pr´ edicteur-correcteur).
La m´ ethode de Runge-Kutta Fehlberg d’ordre 4 est un des sch´ emas de la
forme (10.72) les plus populaires. Elle consiste en une m´ ethode RK d’ordre
4 coupl´ ee avec une m´ ethode RK d’ordre 5 (pour cette raison, elle est connue
sous le nom de m´ ethode RK45). Son tableau de Butcher modifi´ e est repr´ esent´ e
ci-dessous.
0
0
0
0
0
0
0
1
4
1
4
0
0
0
0
0
3
8
3
32
9
32
0
0
0
0
12
13
1932
2197
−
7200
2197
7296
2197
0
0
0
1
439
216
−8
3680
513
−
845
4104
0
0
1
2
−
8
27
2
−
3544
2565
1859
4104
−
11
40
0
25
216
0
1408
2565
2197
4104
−
1
5
0
16
135
0
6656
12825
28561
56430
−
9
50
2
55
1
360
0
−
128
4275
−
2197
75240
1
50
2
55
Cette m´ ethode a tendance `
a sous-estimer l’erreur. Elle n’est donc pas compl` etement fiable quand le pas de discr´ etisation h est grand ou quand on l’applique
` a des probl` emes dans lesquels f d´ epend fortement de t.
Remarque 10.5 Un package MATLAB nomm´ e funfun, propose, en plus
des deux m´ ethodes de Runge-Kutta Fehlberg classiques (la paire deuxi` emetroisi` eme ordre RK23, et la paire quatri` eme-cinqui` eme ordre RK45), deux
autres m´ ethodes, ode15s et ode15s, obtenues `
a partir des m´ ethodes BDF
(voir [SR97]) qui sont bien adapt´ ees ` a la r´ esolution des probl` emes raides.
Remarque 10.6 (m´ ethodes RK implicites) Les m´ ethodes RK implicites
peuvent ˆ etre obtenues ` a partir de la formulation int´ egrale du probl` eme de
Cauchy (10.2). Voir p. ex. [QSS07], Section 11.8.3.
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
coefficients K i co¨ ıncident, cette diff´ erence est donn´ ee par h
s
i=1 E i K i et ne
requiert donc pas d’´ evaluations fonctionnelles suppl´ ementaires.
Remarquer que si la solution u n+1 calcul´ ee par le sch´ ema d’ordre p est
utilis´ ee pour initialiser le sch´ ema au pas de temps n + 2, la m´ ethode sera
globalement d’ordre p. En revanche, si on prend la solution calcul´ ee par le
sch´ ema d’ordre p + 1, le sch´ ema r´ esultant sera d’ordre p + 1 (exactement
comme pour les m´ ethodes de type pr´ edicteur-correcteur).
La m´ ethode de Runge-Kutta Fehlberg d’ordre 4 est un des sch´ emas de la
forme (10.72) les plus populaires. Elle consiste en une m´ ethode RK d’ordre
4 coupl´ ee avec une m´ ethode RK d’ordre 5 (pour cette raison, elle est connue
sous le nom de m´ ethode RK45). Son tableau de Butcher modifi´ e est repr´ esent´ e
ci-dessous.
0
0
0
0
0
0
0
1
4
1
4
0
0
0
0
0
3
8
3
32
9
32
0
0
0
0
12
13
1932
2197
−
7200
2197
7296
2197
0
0
0
1
439
216
−8
3680
513
−
845
4104
0
0
1
2
−
8
27
2
−
3544
2565
1859
4104
−
11
40
0
25
216
0
1408
2565
2197
4104
−
1
5
0
16
135
0
6656
12825
28561
56430
−
9
50
2
55
1
360
0
−
128
4275
−
2197
75240
1
50
2
55
Cette m´ ethode a tendance `
a sous-estimer l’erreur. Elle n’est donc pas compl` etement fiable quand le pas de discr´ etisation h est grand ou quand on l’applique
` a des probl` emes dans lesquels f d´ epend fortement de t.
Remarque 10.5 Un package MATLAB nomm´ e funfun, propose, en plus
des deux m´ ethodes de Runge-Kutta Fehlberg classiques (la paire deuxi` emetroisi` eme ordre RK23, et la paire quatri` eme-cinqui` eme ordre RK45), deux
autres m´ ethodes, ode15s et ode15s, obtenues `
a partir des m´ ethodes BDF
(voir [SR97]) qui sont bien adapt´ ees ` a la r´ esolution des probl` emes raides.
Remarque 10.6 (m´ ethodes RK implicites) Les m´ ethodes RK implicites
peuvent ˆ etre obtenues ` a partir de la formulation int´ egrale du probl` eme de
Cauchy (10.2). Voir p. ex. [QSS07], Section 11.8.3.