10.8 M´ ethodes de Runge-Kutta
409
Propri´ et´ e 10.6 L’ordre d’une m´ ethode RK explicite ` a s ´ etapes ne peut pas
ˆ etre plus grand que s. De plus, il n’existe pas de m´ ethode ` a s ´ etapes d’ordre s
si s ≥ 5.
Nous renvoyons le lecteur ` a [But87] pour les preuves de ce r´ esultat et de ceux
que nous donnons plus loin. En particulier, pour des ordres allant de 1 `
a 8,
on a fait figurer dans le tableau ci-apr` es le nombre minimum d’´ etapes s min
requis pour avoir une m´ ethode d’ordre donn´ ee
ordre 1 2 3 4 5 6 7 8
s min 1 2 3 4 6 7 9 11
Remarquer que 4 est le nombre maximal d’´ etapes pour lequel l’ordre de la
m´ ethode n’est pas plus petit que le nombre d’´ etapes lui-mˆ eme. Un exemple
de m´ ethode RK du quatri` eme ordre est donn´ e par le sch´ ema explicite ` a 4
´ etapes suivant :
u n+1 = u n +
h
6
(K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ),
K 1 = f n ,
K 2 = f(t n +
h
2 , u n +
h
2 K 1 ),
K 3 = f(t n +
h
2 , u n +
h
2 K 2 ),
K 4 = f(t n+1 , u n + hK 3 ).
(10.69)
En ce qui concerne les sch´ emas implicites, le plus grand ordre qu’on puisse
obtenir avec s ´ etapes est ´ egal ` a 2s.
Remarque 10.4 (le cas des syst` emes) Une m´ ethode de Runge-Kutta peut
ˆ etre ais´ ement ´ etendue aux syst` emes d’´ equations diff´ erentielles ordinaires.
N´ eanmoins, l’ordre d’une m´ ethode RK dans le cas scalaire ne co¨ ıncide pas
n´ ecessairement avec celui de la m´ ethode analogue dans le cas vectoriel. En
particulier, pour p ≥ 4, une m´ ethode d’ordre p dans le cas du syst` eme autonome y
= f (y), avec f : R
m
→ R
n est encore d’ordre p quand on l’applique
` a l’´ equation scalaire autonome y
= f(y), mais la r´ eciproque n’est pas vraie.
A ce propos, voir [Lam91], Section 5.8.
10.8.1 Construction d’une m´ ethode RK explicite
La m´ ethode classique pour construire une m´ ethode RK explicite consiste ` a
faire en sorte que le plus grand nombre de termes du d´ eveloppement de Taylor
de la solution exacte y n+1 en x n co¨ ıncide avec ceux de la solution approch´ ee
u n+1 (en supposant qu’on effectue un pas de la m´ ethode RK `
a partir de la
solution exacte y n ). Nous allons illustrer cette technique dans le cas d’une
m´ ethode RK explicite `
a 2 ´ etapes.
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Propri´ et´ e 10.6 L’ordre d’une m´ ethode RK explicite ` a s ´ etapes ne peut pas
ˆ etre plus grand que s. De plus, il n’existe pas de m´ ethode ` a s ´ etapes d’ordre s
si s ≥ 5.
Nous renvoyons le lecteur ` a [But87] pour les preuves de ce r´ esultat et de ceux
que nous donnons plus loin. En particulier, pour des ordres allant de 1 `
a 8,
on a fait figurer dans le tableau ci-apr` es le nombre minimum d’´ etapes s min
requis pour avoir une m´ ethode d’ordre donn´ ee
ordre 1 2 3 4 5 6 7 8
s min 1 2 3 4 6 7 9 11
Remarquer que 4 est le nombre maximal d’´ etapes pour lequel l’ordre de la
m´ ethode n’est pas plus petit que le nombre d’´ etapes lui-mˆ eme. Un exemple
de m´ ethode RK du quatri` eme ordre est donn´ e par le sch´ ema explicite ` a 4
´ etapes suivant :
u n+1 = u n +
h
6
(K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ),
K 1 = f n ,
K 2 = f(t n +
h
2 , u n +
h
2 K 1 ),
K 3 = f(t n +
h
2 , u n +
h
2 K 2 ),
K 4 = f(t n+1 , u n + hK 3 ).
(10.69)
En ce qui concerne les sch´ emas implicites, le plus grand ordre qu’on puisse
obtenir avec s ´ etapes est ´ egal ` a 2s.
Remarque 10.4 (le cas des syst` emes) Une m´ ethode de Runge-Kutta peut
ˆ etre ais´ ement ´ etendue aux syst` emes d’´ equations diff´ erentielles ordinaires.
N´ eanmoins, l’ordre d’une m´ ethode RK dans le cas scalaire ne co¨ ıncide pas
n´ ecessairement avec celui de la m´ ethode analogue dans le cas vectoriel. En
particulier, pour p ≥ 4, une m´ ethode d’ordre p dans le cas du syst` eme autonome y
= f (y), avec f : R
m
→ R
n est encore d’ordre p quand on l’applique
` a l’´ equation scalaire autonome y
= f(y), mais la r´ eciproque n’est pas vraie.
A ce propos, voir [Lam91], Section 5.8.
10.8.1 Construction d’une m´ ethode RK explicite
La m´ ethode classique pour construire une m´ ethode RK explicite consiste ` a
faire en sorte que le plus grand nombre de termes du d´ eveloppement de Taylor
de la solution exacte y n+1 en x n co¨ ıncide avec ceux de la solution approch´ ee
u n+1 (en supposant qu’on effectue un pas de la m´ ethode RK `
a partir de la
solution exacte y n ). Nous allons illustrer cette technique dans le cas d’une
m´ ethode RK explicite `
a 2 ´ etapes.