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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Consid´ erons une m´ ethode RK explicite `
a 2 ´ etapes et supposons qu’on
dispose au n-i` eme pas de la solution exacte y n . Alors
u n+1 = y n + hF (t n , y n , h; f) = y n + h(b 1 K 1 + b 2 K 2 ),
K 1 = f(t n , y n ),
K 2 = f(t n + hc 2 , y n + hc 2 K 1 ),
o` u on a suppos´ e l’´ egalit´ e (10.68) v´ erifi´ ee. En ´ ecrivant le d´ eveloppement de
Taylor de K 2 en x n au second ordre, on obtient
K 2 = f n + hc 2 (f n,t + K 1 f n,y ) + O(h
2 ),
o` u on a not´ e f n,z la d´ eriv´ ee partielle de f par rapport `
a z ´ evalu´ ee en (t n , y n ).
Alors
u n+1 = y n + hf n (b 1 + b 2 ) + h
2 c 2 b 2 (f n,t + f n f n,y ) + O(h
3 ).
On effectue alors le mˆ eme d´ eveloppement sur la solution exacte
y n+1 = y n + hy
n +
h
2
2 y
n + O(h
3 )
= y n + hf n +
h
2
2 (f n,t + f n f n,y ) + O(h
3 ).
En identifiant les termes des deux d´ eveloppements jusqu’` a l’ordre le plus ´ elev´ e,
on trouve que les coefficients de la m´ ethode RK doivent v´ erifier b 1 + b 2 = 1,
c 2 b 2 =
1
2
.
Ainsi, il y a une infinit´ e de sch´ emas explicites RK ` a 2 ´ etapes pr´ ecis au
second ordre. Les m´ ethodes de Heun (10.10) et d’Euler modifi´ ee (10.84) en sont
deux exemples. Naturellement, une d´ emarche similaire (et tr` es calculatoire !),
avec des m´ ethodes comportant plus d’´ etapes et des d´ eveloppements de Taylor
d’ordre plus ´ elev´ e, permet de construire des sch´ emas RK d’ordre plus ´ elev´ e.
Par exemple, en gardant tous les termes jusqu’` a l’ordre 5, on obtient le sch´ ema
(10.69).
10.8.2 Pas de discr´ etisation adaptatif pour les m´ ethodes RK
Les sch´ emas RK ´ etant des m´ ethodes ` a un pas, ils se prˆ etent bien `
a des techniques d’adaptation du pas de discr´ etisation h, `
a condition qu’on dispose d’un
estimateur efficace de l’erreur locale. En g´ en´ eral, il s’agit d’un estimateur d’erreur a posteriori, car les estimateurs d’erreur locale a priori sont trop compliqu´ es en pratique. L’estimateur d’erreur peut ˆ etre construit de deux mani` eres :
– en utilisant la mˆ eme m´ ethode RK, mais avec deux pas de discr´ etisation
diff´ erents (typiquement 2h et h) ;
– en utilisant deux m´ ethodes RK d’ordre diff´ erent mais ayant le mˆ eme nombre
d’´ etapes s.
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Consid´ erons une m´ ethode RK explicite `
a 2 ´ etapes et supposons qu’on
dispose au n-i` eme pas de la solution exacte y n . Alors
u n+1 = y n + hF (t n , y n , h; f) = y n + h(b 1 K 1 + b 2 K 2 ),
K 1 = f(t n , y n ),
K 2 = f(t n + hc 2 , y n + hc 2 K 1 ),
o` u on a suppos´ e l’´ egalit´ e (10.68) v´ erifi´ ee. En ´ ecrivant le d´ eveloppement de
Taylor de K 2 en x n au second ordre, on obtient
K 2 = f n + hc 2 (f n,t + K 1 f n,y ) + O(h
2 ),
o` u on a not´ e f n,z la d´ eriv´ ee partielle de f par rapport `
a z ´ evalu´ ee en (t n , y n ).
Alors
u n+1 = y n + hf n (b 1 + b 2 ) + h
2 c 2 b 2 (f n,t + f n f n,y ) + O(h
3 ).
On effectue alors le mˆ eme d´ eveloppement sur la solution exacte
y n+1 = y n + hy
n +
h
2
2 y
n + O(h
3 )
= y n + hf n +
h
2
2 (f n,t + f n f n,y ) + O(h
3 ).
En identifiant les termes des deux d´ eveloppements jusqu’` a l’ordre le plus ´ elev´ e,
on trouve que les coefficients de la m´ ethode RK doivent v´ erifier b 1 + b 2 = 1,
c 2 b 2 =
1
2
.
Ainsi, il y a une infinit´ e de sch´ emas explicites RK ` a 2 ´ etapes pr´ ecis au
second ordre. Les m´ ethodes de Heun (10.10) et d’Euler modifi´ ee (10.84) en sont
deux exemples. Naturellement, une d´ emarche similaire (et tr` es calculatoire !),
avec des m´ ethodes comportant plus d’´ etapes et des d´ eveloppements de Taylor
d’ordre plus ´ elev´ e, permet de construire des sch´ emas RK d’ordre plus ´ elev´ e.
Par exemple, en gardant tous les termes jusqu’` a l’ordre 5, on obtient le sch´ ema
(10.69).
10.8.2 Pas de discr´ etisation adaptatif pour les m´ ethodes RK
Les sch´ emas RK ´ etant des m´ ethodes ` a un pas, ils se prˆ etent bien `
a des techniques d’adaptation du pas de discr´ etisation h, `
a condition qu’on dispose d’un
estimateur efficace de l’erreur locale. En g´ en´ eral, il s’agit d’un estimateur d’erreur a posteriori, car les estimateurs d’erreur locale a priori sont trop compliqu´ es en pratique. L’estimateur d’erreur peut ˆ etre construit de deux mani` eres :
– en utilisant la mˆ eme m´ ethode RK, mais avec deux pas de discr´ etisation
diff´ erents (typiquement 2h et h) ;
– en utilisant deux m´ ethodes RK d’ordre diff´ erent mais ayant le mˆ eme nombre
d’´ etapes s.