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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
o` u A = (a ij ) ∈ R
s×s , b = [b 1 , . . . , b s ]
T
∈ R
s et c = [c 1 , . . . , c s ]
T
∈ R
s . Nous
supposerons dans la suite que la condition suivante est v´ erifi´ ee
c i =
s
j=1
a ij , i = 1, . . ., s.
(10.68)
Si les coefficients a ij de A sont nuls pour j ≥ i, i = 1, 2, . . ., s, alors chaque K i
peut ˆ etre explicitement calcul´ e en fonction des i − 1 coefficients K 1 , . . . , K i−1
d´ ej` a connus. Dans ce cas la m´ ethode RK est explicite. Autrement, elle est
implicite et il faut r´ esoudre un syst` eme non lin´ eaire de dimension s pour
calculer les K i .
L’augmentation des calculs pour les sch´ emas implicites rend leur utilisation
coˆ uteuse ; un compromis acceptable est obtenu avec les m´ ethodes RK semiimplicites. Dans ce cas a ij = 0 pour j > i, de sorte que chaque K i est solution
de l’´ equation non lin´ eaire
K i = f
⎛
⎝ t n + c i h, u n + ha ii K i + h
i−1
j=1
a ij K j
⎞
⎠ .
Un sch´ ema semi-implicite implique donc la r´ esolution de s ´ equations non lin´ eaires ind´ ependantes.
L’erreur de troncature locale τ n+1 (h) au noeud t n+1 de la m´ ethode
RK (10.66) est d´ efinie au moyen du r´ esidu :
hτ n+1 (h) = y n+1 − y n − hF (t n , y n , h; f),
o` u y(t) est la solution exacte du probl` eme de Cauchy (10.1). La m´ ethode
(10.66) est consistante si τ (h) = max n |τ n (h)| → 0 quand h → 0. On peut
montrer (voir [Lam91]) que c’est le cas si et seulement si
s
i=1
b i = 1.
Comme d’habitude, on dit que (10.66) est une m´ ethode consistante d’ordre p
(≥ 1) par rapport `
a h si τ (h) = O(h
p ) quand h → 0.
Puisque les m´ ethodes RK sont des m´ ethodes ` a un pas, la consistance implique la stabilit´ e, et donc la convergence. Comme avec les m´ ethodes multi-pas,
on peut ´ etablir des estimations de τ (h) ; n´ eanmoins, ces estimations sont souvent trop compliqu´ ees pour ˆ etre utiles en pratique. Signalons seulement que,
comme pour les m´ ethodes multi-pas, si un sch´ ema RK a une erreur de troncature locale τ n (h) = O(h
p ) pour tout n, alors l’ordre de convergence est aussi
´ egal ` a p.
Le r´ esultat suivant ´ etablit une relation entre l’ordre et le nombre d’´ etapes
des m´ ethodes RK explicites.
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
o` u A = (a ij ) ∈ R
s×s , b = [b 1 , . . . , b s ]
T
∈ R
s et c = [c 1 , . . . , c s ]
T
∈ R
s . Nous
supposerons dans la suite que la condition suivante est v´ erifi´ ee
c i =
s
j=1
a ij , i = 1, . . ., s.
(10.68)
Si les coefficients a ij de A sont nuls pour j ≥ i, i = 1, 2, . . ., s, alors chaque K i
peut ˆ etre explicitement calcul´ e en fonction des i − 1 coefficients K 1 , . . . , K i−1
d´ ej` a connus. Dans ce cas la m´ ethode RK est explicite. Autrement, elle est
implicite et il faut r´ esoudre un syst` eme non lin´ eaire de dimension s pour
calculer les K i .
L’augmentation des calculs pour les sch´ emas implicites rend leur utilisation
coˆ uteuse ; un compromis acceptable est obtenu avec les m´ ethodes RK semiimplicites. Dans ce cas a ij = 0 pour j > i, de sorte que chaque K i est solution
de l’´ equation non lin´ eaire
K i = f
⎛
⎝ t n + c i h, u n + ha ii K i + h
i−1
j=1
a ij K j
⎞
⎠ .
Un sch´ ema semi-implicite implique donc la r´ esolution de s ´ equations non lin´ eaires ind´ ependantes.
L’erreur de troncature locale τ n+1 (h) au noeud t n+1 de la m´ ethode
RK (10.66) est d´ efinie au moyen du r´ esidu :
hτ n+1 (h) = y n+1 − y n − hF (t n , y n , h; f),
o` u y(t) est la solution exacte du probl` eme de Cauchy (10.1). La m´ ethode
(10.66) est consistante si τ (h) = max n |τ n (h)| → 0 quand h → 0. On peut
montrer (voir [Lam91]) que c’est le cas si et seulement si
s
i=1
b i = 1.
Comme d’habitude, on dit que (10.66) est une m´ ethode consistante d’ordre p
(≥ 1) par rapport `
a h si τ (h) = O(h
p ) quand h → 0.
Puisque les m´ ethodes RK sont des m´ ethodes ` a un pas, la consistance implique la stabilit´ e, et donc la convergence. Comme avec les m´ ethodes multi-pas,
on peut ´ etablir des estimations de τ (h) ; n´ eanmoins, ces estimations sont souvent trop compliqu´ ees pour ˆ etre utiles en pratique. Signalons seulement que,
comme pour les m´ ethodes multi-pas, si un sch´ ema RK a une erreur de troncature locale τ n (h) = O(h
p ) pour tout n, alors l’ordre de convergence est aussi
´ egal ` a p.
Le r´ esultat suivant ´ etablit une relation entre l’ordre et le nombre d’´ etapes
des m´ ethodes RK explicites.