10.7 M´ ethodes pr´ edicteur-correcteur
403
calculer pour n = 1, 2, . . . ,
[P ] u
(0)
n+1 = u
(1)
n +
h
2
3f
(0)
n − f
(0)
n−1
,
[E] f
(0)
n+1 = f (tn+1, u
(0)
n+1 ),
[C] u
(1)
n+1 = u
(1)
n +
h
12
5f
(0)
n+1 + 8f
(0)
n − f
(0)
n−1
,
et la version P ECE est : ´ etant donn´ e u
(0)
0
= u
(1)
0
= u0, u
(0)
1
= u
(1)
1
= u1 et
f
(1)
0
= f (t0, u
(1)
0 ), f
(1)
1
= f (t1, u
(1)
1 ), calculer pour n = 1, 2, . . . ,
[P ] u
(0)
n+1 = u
(1)
n +
h
2
3f
(1)
n − f
(1)
n−1
,
[E] f
(0)
n+1 = f (tn+1, u
(0)
n+1 ),
[C] u
(1)
n+1 = u
(1)
n +
h
12
5f
(0)
n+1 + 8f
(1)
n − f
(1)
n−1
,
[E] f
(1)
n+1 = f (tn+1, u
(1)
n+1 ).
•
Avant de passer `
a l’´ etude de la convergence des m´ ethodes pr´ edicteur-correcteur, nous allons simplifier un peu les notations. Habituellement, on effectue
plus de pas de pr´ edicteur que de correcteur. Nous d´ efinissons donc le nombre
de pas de la m´ ethode pr´ edicteur-correcteur comme ´ etant le nombre de pas
du pr´ edicteur. Ce nombre sera not´ e p dans la suite. Compte tenu de cette
d´ efinition, on n’imposera plus la contrainte |a p | + |b p | = 0 aux coefficients du
correcteur. Par exemple, pour le sch´ ema pr´ edicteur-correcteur
[P ] u
(0)
n+1 = u
(1)
n + hf(t n−1 , u
(0)
n−1 ),
[C] u
(1)
n+1 = u
(1)
n +
h
2
f(t n , u
(0)
n ) + f(t n+1 , u
(0)
n+1 )
,
on a p = 2 (mˆ eme si le correcteur est une m´ ethode `
a un pas). Par cons´ equent,
le premier et le second polynˆ ome caract´ eristique de la m´ ethode du correcteur
seront ρ(r) = r
2
− r et σ(r) = (r
2 + r)/2 au lieu de ρ(r) = r − 1 et σ(r) =
(r + 1)/2.
Dans toutes les m´ ethodes pr´ edicteur-correcteur, l’erreur de troncature du pr´ edicteur se combine avec celle du correcteur, g´ en´ erant ainsi une nouvelle erreur
de troncature que nous allons examiner. Soient ˜
q l’ordre du pr´ edicteur et q
celui du correcteur. Supposons que y ∈ C
q+1 , o` u
q = max(˜ q, q). Alors
y(t n+1 ) −
p
j=0
˜
a j y(t n−j ) − h
p
j=0
˜ b j f(t n−j , y n−j )
= ˜
C ˜
q+1 h
˜
q+1 y
(˜ q+1) (t n−p ) + O(h
˜
q+2 ),
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calculer pour n = 1, 2, . . . ,
[P ] u
(0)
n+1 = u
(1)
n +
h
2
3f
(0)
n − f
(0)
n−1
,
[E] f
(0)
n+1 = f (tn+1, u
(0)
n+1 ),
[C] u
(1)
n+1 = u
(1)
n +
h
12
5f
(0)
n+1 + 8f
(0)
n − f
(0)
n−1
,
et la version P ECE est : ´ etant donn´ e u
(0)
0
= u
(1)
0
= u0, u
(0)
1
= u
(1)
1
= u1 et
f
(1)
0
= f (t0, u
(1)
0 ), f
(1)
1
= f (t1, u
(1)
1 ), calculer pour n = 1, 2, . . . ,
[P ] u
(0)
n+1 = u
(1)
n +
h
2
3f
(1)
n − f
(1)
n−1
,
[E] f
(0)
n+1 = f (tn+1, u
(0)
n+1 ),
[C] u
(1)
n+1 = u
(1)
n +
h
12
5f
(0)
n+1 + 8f
(1)
n − f
(1)
n−1
,
[E] f
(1)
n+1 = f (tn+1, u
(1)
n+1 ).
•
Avant de passer `
a l’´ etude de la convergence des m´ ethodes pr´ edicteur-correcteur, nous allons simplifier un peu les notations. Habituellement, on effectue
plus de pas de pr´ edicteur que de correcteur. Nous d´ efinissons donc le nombre
de pas de la m´ ethode pr´ edicteur-correcteur comme ´ etant le nombre de pas
du pr´ edicteur. Ce nombre sera not´ e p dans la suite. Compte tenu de cette
d´ efinition, on n’imposera plus la contrainte |a p | + |b p | = 0 aux coefficients du
correcteur. Par exemple, pour le sch´ ema pr´ edicteur-correcteur
[P ] u
(0)
n+1 = u
(1)
n + hf(t n−1 , u
(0)
n−1 ),
[C] u
(1)
n+1 = u
(1)
n +
h
2
f(t n , u
(0)
n ) + f(t n+1 , u
(0)
n+1 )
,
on a p = 2 (mˆ eme si le correcteur est une m´ ethode `
a un pas). Par cons´ equent,
le premier et le second polynˆ ome caract´ eristique de la m´ ethode du correcteur
seront ρ(r) = r
2
− r et σ(r) = (r
2 + r)/2 au lieu de ρ(r) = r − 1 et σ(r) =
(r + 1)/2.
Dans toutes les m´ ethodes pr´ edicteur-correcteur, l’erreur de troncature du pr´ edicteur se combine avec celle du correcteur, g´ en´ erant ainsi une nouvelle erreur
de troncature que nous allons examiner. Soient ˜
q l’ordre du pr´ edicteur et q
celui du correcteur. Supposons que y ∈ C
q+1 , o` u
q = max(˜ q, q). Alors
y(t n+1 ) −
p
j=0
˜
a j y(t n−j ) − h
p
j=0
˜ b j f(t n−j , y n−j )
= ˜
C ˜
q+1 h
˜
q+1 y
(˜ q+1) (t n−p ) + O(h
˜
q+2 ),