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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Cette seconde ´ etape du proc´ ed´ e, qui est en fait explicite, est appel´ ee correcteur.
L’ensemble de l’algorithme est d´ esign´ e en abr´ eg´ e par P EC ou P (EC)
1 : P et
C d´ esignent respectivement une application au temps t n+1 du pr´ edicteur et
du correcteur, et E d´ esigne une ´ evaluation de la fonction f.
Cette strat´ egie peut ˆ etre g´ en´ eralis´ ee en effectuant m > 1 it´ erations `
a
chaque pas t n+1 . Les m´ ethodes correspondantes sont appel´ ees sch´ emas pr´ edicteur-multicorrecteur et calculent u
(0)
n+1 au temps t n+1 en utilisant le pr´ edicteur
sous la forme
[P ] u
(0)
n+1 =
˜
p
j=0
˜ a j u
(m)
n−j + h
˜
p
j=0
˜ b j f
(m−1)
n−j
.
(10.65)
Ici m ≥ 1 d´ esigne le nombre (fix´ e) d’it´ erations du correcteur effectu´ ees aux
´ etapes suivantes [E] et [C] : pour k = 0, 1, . . ., m − 1
[E] f
(k)
n+1 = f(t n+1 , u
(k)
n+1 ),
[C] u
(k+1)
n+1 =
p
j=0
a j u
(m)
n−j + hb −1 f
(k)
n+1 + h
p
j=0
b j f
(m−1)
n−j
.
Cette cat´ egorie de m´ ethodes pr´ edicteur-correcteur est not´ ee P (EC)
m . Une
autre, not´ ee P (EC)
m E, consiste ` a mettre ´ egalement ` a jour la fonction f ` a la
fin du processus :
[P ] u
(0)
n+1 =
˜
p
j=0
˜
a j u
(m)
n−j + h
˜
p
j=0
˜ b j f
(m)
n−j ,
et, pour k = 0, 1, . . ., m − 1,
[E] f
(k)
n+1 = f(t n+1 , u
(k)
n+1 ),
[C] u
(k+1)
n+1 =
p
j=0
a j u
(m)
n−j + hb −1 f
(k)
n+1 + h
p
j=0
b j f
(m)
n−j ,
suivi de
[E] f
(m)
n+1 = f(t n+1 , u
(m)
n+1 ).
Exemple 10.8 Le sch´ ema de Heun (10.10) peut ˆ etre vu comme une m´ ethode
pr´ edicteur-correcteur dont le pr´ edicteur est un sch´ ema d’Euler explicite et le correcteur un sch´ ema de Crank-Nicolson.
On peut aussi consid´ erer les sch´ emas d’Adams-Bashforth d’ordre 2 (10.51) et
d’Adams-Moulton d’ordre 3 (10.52). La version P EC correspondante est : ´ etant
donn´ e u
(0)
0
= u
(1)
0
= u0, u
(0)
1
= u
(1)
1
= u1 et f
(0)
0
= f (t0, u
(0)
0 ), f
(0)
1
= f (t1, u
(0)
1 ),
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Cette seconde ´ etape du proc´ ed´ e, qui est en fait explicite, est appel´ ee correcteur.
L’ensemble de l’algorithme est d´ esign´ e en abr´ eg´ e par P EC ou P (EC)
1 : P et
C d´ esignent respectivement une application au temps t n+1 du pr´ edicteur et
du correcteur, et E d´ esigne une ´ evaluation de la fonction f.
Cette strat´ egie peut ˆ etre g´ en´ eralis´ ee en effectuant m > 1 it´ erations `
a
chaque pas t n+1 . Les m´ ethodes correspondantes sont appel´ ees sch´ emas pr´ edicteur-multicorrecteur et calculent u
(0)
n+1 au temps t n+1 en utilisant le pr´ edicteur
sous la forme
[P ] u
(0)
n+1 =
˜
p
j=0
˜ a j u
(m)
n−j + h
˜
p
j=0
˜ b j f
(m−1)
n−j
.
(10.65)
Ici m ≥ 1 d´ esigne le nombre (fix´ e) d’it´ erations du correcteur effectu´ ees aux
´ etapes suivantes [E] et [C] : pour k = 0, 1, . . ., m − 1
[E] f
(k)
n+1 = f(t n+1 , u
(k)
n+1 ),
[C] u
(k+1)
n+1 =
p
j=0
a j u
(m)
n−j + hb −1 f
(k)
n+1 + h
p
j=0
b j f
(m−1)
n−j
.
Cette cat´ egorie de m´ ethodes pr´ edicteur-correcteur est not´ ee P (EC)
m . Une
autre, not´ ee P (EC)
m E, consiste ` a mettre ´ egalement ` a jour la fonction f ` a la
fin du processus :
[P ] u
(0)
n+1 =
˜
p
j=0
˜
a j u
(m)
n−j + h
˜
p
j=0
˜ b j f
(m)
n−j ,
et, pour k = 0, 1, . . ., m − 1,
[E] f
(k)
n+1 = f(t n+1 , u
(k)
n+1 ),
[C] u
(k+1)
n+1 =
p
j=0
a j u
(m)
n−j + hb −1 f
(k)
n+1 + h
p
j=0
b j f
(m)
n−j ,
suivi de
[E] f
(m)
n+1 = f(t n+1 , u
(m)
n+1 ).
Exemple 10.8 Le sch´ ema de Heun (10.10) peut ˆ etre vu comme une m´ ethode
pr´ edicteur-correcteur dont le pr´ edicteur est un sch´ ema d’Euler explicite et le correcteur un sch´ ema de Crank-Nicolson.
On peut aussi consid´ erer les sch´ emas d’Adams-Bashforth d’ordre 2 (10.51) et
d’Adams-Moulton d’ordre 3 (10.52). La version P EC correspondante est : ´ etant
donn´ e u
(0)
0
= u
(1)
0
= u0, u
(0)
1
= u
(1)
1
= u1 et f
(0)
0
= f (t0, u
(0)
0 ), f
(0)
1
= f (t1, u
(0)
1 ),