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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
y(t n+1 ) −
p
j=0
a j y(t n−j ) − h
p
j=−1
b j f(t n−j , y n−j )
= C q+1 h
q+1 y
(q+1) (t n−p ) + O(h
q+2 ),
o` u ˜
C ˜
q+1 et C q+1 sont respectivement les constantes d’erreur du pr´ edicteur et
du correcteur. On a alors le r´ esultat suivant :
Propri´ et´ e 10.5 Soit un pr´ edicteur d’ordre ˜
q et un correcteur d’ordre q.
Si ˜
q ≥ q (ou ˜
q < q avec m > q − ˜
q), alors le pr´ edicteur-correcteur a le mˆ eme
ordre et la mˆ eme erreur de troncature locale principale que le correcteur.
Si ˜
q < q et m = q − ˜
q, alors le pr´ edicteur-correcteur a le mˆ eme ordre que le
correcteur, mais une erreur de troncature locale principale diff´ erente.
Si ˜
q < q et m ≤ q − ˜
q − 1, alors le pr´ edicteur-correcteur est d’ordre ˜
q + m
(donc plus petit que q).
Remarquer en particulier que si le pr´ edicteur est d’ordre q − 1 et le correcteur
d’ordre q, le sch´ ema P EC suffit ` a obtenir une m´ ethode d’ordre q. De plus,
les sch´ emas P (EC)
m E et P (EC)
m ont toujours le mˆ eme ordre et la mˆ eme
erreur de troncature locale principale.
Nous constatons qu’en combinant un sch´ ema d’Adams-Bashforth d’ordre
q avec le sch´ ema correspondant d’Adams-Moulton de mˆ eme ordre, on obtient
une m´ ethode d’ordre q, appel´ ee sch´ ema ABM. Une estimation de son erreur
de troncature locale principale est donn´ ee par
C q+1
C
∗
q+1 − C q+1
u
(m)
n+1 − u
(0)
n+1
,
o` u C q+1 et C
∗
q+1 sont les constantes d’erreur donn´ ees dans la Table 10.1.
On peut alors diminuer en cons´ equence le pas de discr´ etisation h si cette
estimation d´ epasse une tol´ erance fix´ ee et l’augmenter dans le cas contraire
(pour les strat´ egies d’adaptation du pas de discr´ etisation dans une m´ ethode
pr´ edicteur-correcteur, voir [Lam91], p. 128–147).
Le Programme 81 propose une impl´ ementation MATLAB des m´ ethodes
P (EC)
m E. Les param` etres d’entr´ ee at, bt, a, b contiennent les coefficients
˜
a j , ˜ b j (j = 0, . . . , ˜
p) du pr´ edicteur et les coefficients a j (j = 0, . . ., p), b j
(j = −1, . . . , p) du correcteur. f est une chaˆ ıne contenant l’expression de
f(t, y), h est le pas de discr´ etisation, t0 et tf sont les extr´ emit´ es de l’intervalle d’int´ egration, u0 est le vecteur des donn´ ees initiales, m est le nombre
d’it´ erations internes du correcteur. La variable pece doit ˆ etre ´ egale ` a ’y’ si
on choisit P (EC)
m E, autrement le programme effectue P (EC)
m .
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
y(t n+1 ) −
p
j=0
a j y(t n−j ) − h
p
j=−1
b j f(t n−j , y n−j )
= C q+1 h
q+1 y
(q+1) (t n−p ) + O(h
q+2 ),
o` u ˜
C ˜
q+1 et C q+1 sont respectivement les constantes d’erreur du pr´ edicteur et
du correcteur. On a alors le r´ esultat suivant :
Propri´ et´ e 10.5 Soit un pr´ edicteur d’ordre ˜
q et un correcteur d’ordre q.
Si ˜
q ≥ q (ou ˜
q < q avec m > q − ˜
q), alors le pr´ edicteur-correcteur a le mˆ eme
ordre et la mˆ eme erreur de troncature locale principale que le correcteur.
Si ˜
q < q et m = q − ˜
q, alors le pr´ edicteur-correcteur a le mˆ eme ordre que le
correcteur, mais une erreur de troncature locale principale diff´ erente.
Si ˜
q < q et m ≤ q − ˜
q − 1, alors le pr´ edicteur-correcteur est d’ordre ˜
q + m
(donc plus petit que q).
Remarquer en particulier que si le pr´ edicteur est d’ordre q − 1 et le correcteur
d’ordre q, le sch´ ema P EC suffit ` a obtenir une m´ ethode d’ordre q. De plus,
les sch´ emas P (EC)
m E et P (EC)
m ont toujours le mˆ eme ordre et la mˆ eme
erreur de troncature locale principale.
Nous constatons qu’en combinant un sch´ ema d’Adams-Bashforth d’ordre
q avec le sch´ ema correspondant d’Adams-Moulton de mˆ eme ordre, on obtient
une m´ ethode d’ordre q, appel´ ee sch´ ema ABM. Une estimation de son erreur
de troncature locale principale est donn´ ee par
C q+1
C
∗
q+1 − C q+1
u
(m)
n+1 − u
(0)
n+1
,
o` u C q+1 et C
∗
q+1 sont les constantes d’erreur donn´ ees dans la Table 10.1.
On peut alors diminuer en cons´ equence le pas de discr´ etisation h si cette
estimation d´ epasse une tol´ erance fix´ ee et l’augmenter dans le cas contraire
(pour les strat´ egies d’adaptation du pas de discr´ etisation dans une m´ ethode
pr´ edicteur-correcteur, voir [Lam91], p. 128–147).
Le Programme 81 propose une impl´ ementation MATLAB des m´ ethodes
P (EC)
m E. Les param` etres d’entr´ ee at, bt, a, b contiennent les coefficients
˜
a j , ˜ b j (j = 0, . . . , ˜
p) du pr´ edicteur et les coefficients a j (j = 0, . . ., p), b j
(j = −1, . . . , p) du correcteur. f est une chaˆ ıne contenant l’expression de
f(t, y), h est le pas de discr´ etisation, t0 et tf sont les extr´ emit´ es de l’intervalle d’int´ egration, u0 est le vecteur des donn´ ees initiales, m est le nombre
d’it´ erations internes du correcteur. La variable pece doit ˆ etre ´ egale ` a ’y’ si
on choisit P (EC)
m E, autrement le programme effectue P (EC)
m .