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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
probl` eme de Cauchy. La nouvelle r´ egion de stabilit´ e absolue A
∗ serait alors
A
∗ = {z ∈ C : ∃C > 0, |u n | ≤ C ∀n ≥ 0}
et ne co¨ ınciderait pas n´ ecessairement avec A. Par exemple, pour la m´ ethode
du point milieu A est vide, tandis que A
∗ = {z = αi, α ∈ [−1, 1]}.
En g´ en´ eral, si A est non vide, alors A
∗ est sa fermeture. Notons que les
m´ ethodes z´ ero-stables sont celles pour lesquelles la r´ egion A
∗ contient l’origine
z = 0 du plan complexe.
Pour conclure, notons que la condition de racines forte (10.58) implique, pour
un probl` eme lin´ eaire, que
∀h ≤ h 0 , ∃ C > 0 : |u n | ≤ C(|u 0 | + . . . + |u p |) ∀n ≥ p + 1.
(10.62)
On dit qu’une m´ ethode est relativement stable si elle satisfait (10.62). Clairement, (10.62) implique la z´ ero-stabilit´ e, mais la r´ eciproque est fausse.
La Figure 10.7 r´ esume les conclusions principales de cette section concernant
la stabilit´ e, la convergence et les conditions de racines, dans le cas particulier
d’une m´ ethode consistante appliqu´ ee au probl` eme mod` ele (10.24).
Cond. de ⇐=
Cond. de
⇐=
Cond. de
racines
racines forte
racines absolue
Convergence ⇐⇒ Z´ ero⇐=
(10.62)
⇐=
Stabilit´ e
stabilit´ e
absolue
Fig. 10.7. Relations entre les conditions de racines, la stabilit´ e et la convergence
pour une m´ ethode consistante appliqu´ ee au probl` eme mod` ele (10.24)
10.7 M´ ethodes pr´ edicteur-correcteur
Quand on r´ esout un probl` eme de Cauchy non lin´ eaire de la forme (10.1),
l’utilisation d’un sch´ ema implicite implique la r´ esolution d’une ´ equation non
lin´ eaire ` a chaque pas de temps. Par exemple, quand on utilise la m´ ethode de
Crank-Nicolson, on obtient l’´ equation non lin´ eaire
u n+1 = u n +
h
2
[f n + f n+1 ] = Ψ(u n+1 ),
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
probl` eme de Cauchy. La nouvelle r´ egion de stabilit´ e absolue A
∗ serait alors
A
∗ = {z ∈ C : ∃C > 0, |u n | ≤ C ∀n ≥ 0}
et ne co¨ ınciderait pas n´ ecessairement avec A. Par exemple, pour la m´ ethode
du point milieu A est vide, tandis que A
∗ = {z = αi, α ∈ [−1, 1]}.
En g´ en´ eral, si A est non vide, alors A
∗ est sa fermeture. Notons que les
m´ ethodes z´ ero-stables sont celles pour lesquelles la r´ egion A
∗ contient l’origine
z = 0 du plan complexe.
Pour conclure, notons que la condition de racines forte (10.58) implique, pour
un probl` eme lin´ eaire, que
∀h ≤ h 0 , ∃ C > 0 : |u n | ≤ C(|u 0 | + . . . + |u p |) ∀n ≥ p + 1.
(10.62)
On dit qu’une m´ ethode est relativement stable si elle satisfait (10.62). Clairement, (10.62) implique la z´ ero-stabilit´ e, mais la r´ eciproque est fausse.
La Figure 10.7 r´ esume les conclusions principales de cette section concernant
la stabilit´ e, la convergence et les conditions de racines, dans le cas particulier
d’une m´ ethode consistante appliqu´ ee au probl` eme mod` ele (10.24).
Cond. de ⇐=
Cond. de
⇐=
Cond. de
racines
racines forte
racines absolue
Convergence ⇐⇒ Z´ ero⇐=
(10.62)
⇐=
Stabilit´ e
stabilit´ e
absolue
Fig. 10.7. Relations entre les conditions de racines, la stabilit´ e et la convergence
pour une m´ ethode consistante appliqu´ ee au probl` eme mod` ele (10.24)
10.7 M´ ethodes pr´ edicteur-correcteur
Quand on r´ esout un probl` eme de Cauchy non lin´ eaire de la forme (10.1),
l’utilisation d’un sch´ ema implicite implique la r´ esolution d’une ´ equation non
lin´ eaire ` a chaque pas de temps. Par exemple, quand on utilise la m´ ethode de
Crank-Nicolson, on obtient l’´ equation non lin´ eaire
u n+1 = u n +
h
2
[f n + f n+1 ] = Ψ(u n+1 ),