10.6 Analyse des m´ ethodes multi-pas
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AB3
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AM3
AM4
AM5
Fig. 10.5. Contours ext´ erieurs des r´ egions de stabilit´ e absolue pour les m´ ethodes
d’Adams-Bashforth (` a gauche) du second au quatri` eme ordre (AB2, AB3 et AB4)
et pour les m´ ethodes d’Adams-Moulton (` a droite), du troisi` eme au cinqui` eme ordre
(AM3, AM4 et AM5). Remarquer que la r´ egion de AB3 d´ eborde sur le demi-plan
des nombres complexes ` a partie r´ eelle positive. La r´ egion correspondant au sch´ ema
d’Euler explicite (AB1) a ´ et´ e dessin´ ee sur la Figure 10.3
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BDF3
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BDF6
BDF5
Fig. 10.6. Contours int´ erieurs des r´ egions de stabilit´ e absolue pour les m´ ethodes
BDF `
a trois et quatre pas (BDF3 et BDF4, ` a gauche), `
a cinq et six pas (BDF5 et
BDF6, ` a droite). Contrairement aux cas des m´ ethodes d’Adams, ces r´ egions sont
non born´ ees et s’´ etendent au-del` a de la portion limit´ ee repr´ esent´ ee sur la figure
Ces propri´ et´ es de stabilit´ e rendent les m´ ethodes BDF attractives pour la
r´ esolution de probl` emes raides (voir Section 10.10).
Remarque 10.3 Certains auteurs (voir p. ex. [BD74]) adoptent une autre
d´ efinition de la stabilit´ e absolue en rempla¸ cant (10.25) par la propri´ et´ e plus
faible
∃C > 0 : |u n | ≤ C quand t n → +∞.
Selon cette nouvelle d´ efinition, la stabilit´ e absolue d’une m´ ethode num´ erique
peut ˆ etre vue comme la contrepartie de la stabilit´ e asymptotique (10.6) du
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Fig. 10.5. Contours ext´ erieurs des r´ egions de stabilit´ e absolue pour les m´ ethodes
d’Adams-Bashforth (` a gauche) du second au quatri` eme ordre (AB2, AB3 et AB4)
et pour les m´ ethodes d’Adams-Moulton (` a droite), du troisi` eme au cinqui` eme ordre
(AM3, AM4 et AM5). Remarquer que la r´ egion de AB3 d´ eborde sur le demi-plan
des nombres complexes ` a partie r´ eelle positive. La r´ egion correspondant au sch´ ema
d’Euler explicite (AB1) a ´ et´ e dessin´ ee sur la Figure 10.3
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Fig. 10.6. Contours int´ erieurs des r´ egions de stabilit´ e absolue pour les m´ ethodes
BDF `
a trois et quatre pas (BDF3 et BDF4, ` a gauche), `
a cinq et six pas (BDF5 et
BDF6, ` a droite). Contrairement aux cas des m´ ethodes d’Adams, ces r´ egions sont
non born´ ees et s’´ etendent au-del` a de la portion limit´ ee repr´ esent´ ee sur la figure
Ces propri´ et´ es de stabilit´ e rendent les m´ ethodes BDF attractives pour la
r´ esolution de probl` emes raides (voir Section 10.10).
Remarque 10.3 Certains auteurs (voir p. ex. [BD74]) adoptent une autre
d´ efinition de la stabilit´ e absolue en rempla¸ cant (10.25) par la propri´ et´ e plus
faible
∃C > 0 : |u n | ≤ C quand t n → +∞.
Selon cette nouvelle d´ efinition, la stabilit´ e absolue d’une m´ ethode num´ erique
peut ˆ etre vue comme la contrepartie de la stabilit´ e asymptotique (10.6) du