398
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Fig. 10.4. R´ egions de stabilit´ e absolue pour les m´ ethodes A-stables (` a gauche) et
les m´ ethodes ϑ-stables (` a droite)
angulaire constitu´ e des z ∈ C tels que −ϑ < π − arg(z) < ϑ, avec ϑ ∈]0, π/2[.
Les m´ ethodes A-stables sont extrˆ emement importantes quand on r´ esout des
probl` emes raides (voir Section 10.10).
Le r´ esultat suivant, dont la preuve est donn´ ee dans [Wid67], ´ etablit une relation entre l’ordre d’une m´ ethode multi-pas, son nombre de pas et ses propri´ et´ es
de stabilit´ e.
Propri´ et´ e 10.4 (seconde barri` ere de Dahlquist) Une m´ ethode multi-pas
explicite lin´ eaire ne peut ˆ etre ni A-stable, ni ϑ-stable. De plus, il n’y a pas de
m´ ethode multi-pas lin´ eaire A-stable d’ordre sup´ erieur `
a 2. Enfin, pour tout
ϑ ∈]0, π/2[, il n’existe des m´ ethodes ` a q pas, lin´ eaires, ϑ-stables et d’ordre q
que pour q = 3 et q = 4.
Examinons maintenant les r´ egions de stabilit´ e absolue de diverses m´ ethodes
multi-pas.
Les r´ egions de stabilit´ e absolue des sch´ emas d’Adams explicites et implicites
diminuent progressivement quand l’ordre de la m´ ethode augmente. Sur la
Figure 10.5 (` a gauche), on montre les r´ egions de stabilit´ e absolue pour les
m´ ethodes d’Adams-Bashforth pr´ esent´ ees ` a la Section 10.5.1.
Les r´ egions de stabilit´ e absolue des sch´ emas d’Adams-Moulton, except´ e
celui de Crank-Nicolson qui est A-stable, sont repr´ esent´ ees sur la Figure 10.5
(` a droite).
On a repr´ esent´ e sur la Figure 10.6 les r´ egions de stabilit´ e absolue de quelques
m´ ethodes BDF introduites `
a la Section 10.5.2. Elles sont non born´ ees et
contiennent toujours les nombres r´ eels n´ egatifs.
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Fig. 10.4. R´ egions de stabilit´ e absolue pour les m´ ethodes A-stables (` a gauche) et
les m´ ethodes ϑ-stables (` a droite)
angulaire constitu´ e des z ∈ C tels que −ϑ < π − arg(z) < ϑ, avec ϑ ∈]0, π/2[.
Les m´ ethodes A-stables sont extrˆ emement importantes quand on r´ esout des
probl` emes raides (voir Section 10.10).
Le r´ esultat suivant, dont la preuve est donn´ ee dans [Wid67], ´ etablit une relation entre l’ordre d’une m´ ethode multi-pas, son nombre de pas et ses propri´ et´ es
de stabilit´ e.
Propri´ et´ e 10.4 (seconde barri` ere de Dahlquist) Une m´ ethode multi-pas
explicite lin´ eaire ne peut ˆ etre ni A-stable, ni ϑ-stable. De plus, il n’y a pas de
m´ ethode multi-pas lin´ eaire A-stable d’ordre sup´ erieur `
a 2. Enfin, pour tout
ϑ ∈]0, π/2[, il n’existe des m´ ethodes ` a q pas, lin´ eaires, ϑ-stables et d’ordre q
que pour q = 3 et q = 4.
Examinons maintenant les r´ egions de stabilit´ e absolue de diverses m´ ethodes
multi-pas.
Les r´ egions de stabilit´ e absolue des sch´ emas d’Adams explicites et implicites
diminuent progressivement quand l’ordre de la m´ ethode augmente. Sur la
Figure 10.5 (` a gauche), on montre les r´ egions de stabilit´ e absolue pour les
m´ ethodes d’Adams-Bashforth pr´ esent´ ees ` a la Section 10.5.1.
Les r´ egions de stabilit´ e absolue des sch´ emas d’Adams-Moulton, except´ e
celui de Crank-Nicolson qui est A-stable, sont repr´ esent´ ees sur la Figure 10.5
(` a droite).
On a repr´ esent´ e sur la Figure 10.6 les r´ egions de stabilit´ e absolue de quelques
m´ ethodes BDF introduites `
a la Section 10.5.2. Elles sont non born´ ees et
contiennent toujours les nombres r´ eels n´ egatifs.