10.6 Analyse des m´ ethodes multi-pas
397
Enfin, les m´ ethodes BDF de la Section 10.5.2 sont z´ ero-stables si p ≤ 5,
puisque dans ce cas la condition de racines est satisfaite (voir [Cry73]).
Nous sommes maintenant en mesure d’´ enoncer des r´ esultats de convergence.
Propri´ et´ e 10.2 (convergence) Une m´ ethode multi-pas consistante est convergente si et seulement si elle satisfait la condition de racines et si l’erreur
sur les donn´ ees initiales tend vers z´ ero quand h → 0. De plus, la m´ ethode
converge avec un ordre q si elle est d’ordre q et si l’erreur sur les donn´ ees
initiales est un O(h
q ).
D´ emonstration. voir [QSS07], Th´ eor` eme 11.5.
3
Une cons´ equence remarquable de ce r´ esultat est le th´ eor` eme d’´ equivalence de
Lax-Richtmyer :
Corollaire 10.1 (th´ eor` eme d’´ equivalence) Un m´ ethode multi-pas consistante est convergente si et seulement si elle est z´ ero-stable et l’erreur sur les
donn´ ees initiales tend vers z´ ero quand h tend vers z´ ero.
Nous concluons cette section avec le r´ esultat suivant, qui ´ etablit une limite
sup´ erieure pour l’ordre des m´ ethodes multi-pas (voir [Dah63]).
Propri´ et´ e 10.3 (premi` ere barri` ere de Dahlquist) Il n’y a pas de m´ ethode ` a q pas lin´ eaire z´ ero-stable d’ordre sup´ erieur `
a q + 1 si q est impair,
q + 2 si q est pair.
10.6.4 Stabilit´ e absolue des m´ ethodes multi-pas
Consid´ erons ` a nouveau l’´ equation aux diff´ erences (10.55) obtenue en appliquant la m´ ethode multi-pas (10.46) au probl` eme mod` ele (10.24). D’apr` es
(10.33), sa solution est de la forme
u n =
k
j=1
mj −1
s=0
γ sj n
s
[r j (hλ)]
n ,
n= 0, 1, . . . ,
o` u les r j (hλ), j = 1, . . ., k
, sont les racines distinctes du polynˆ ome caract´ eristique (10.56), et o` u on a not´ e m j la multiplicit´ e de r j (hλ). Au regard de
(10.25), il est clair que la condition de racines absolue introduite `
a la D´ efinition 10.12 est n´ ecessaire et suffisante pour assurer que la m´ ethode multi-pas
(10.46) est absolument stable quand h ≤ h 0 .
Les m´ ethodes multi-pas dont la r´ egion de stabilit´ e A (voir (10.26)) est non
born´ ee constituent un exemple remarquable de m´ ethodes absolument stables.
Parmi elles on trouve les m´ ethodes A-stables, introduites `
a la fin de la
Section 10.3.3, et les m´ ethodes ϑ-stables, pour lesquelles A contient le secteur
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Enfin, les m´ ethodes BDF de la Section 10.5.2 sont z´ ero-stables si p ≤ 5,
puisque dans ce cas la condition de racines est satisfaite (voir [Cry73]).
Nous sommes maintenant en mesure d’´ enoncer des r´ esultats de convergence.
Propri´ et´ e 10.2 (convergence) Une m´ ethode multi-pas consistante est convergente si et seulement si elle satisfait la condition de racines et si l’erreur
sur les donn´ ees initiales tend vers z´ ero quand h → 0. De plus, la m´ ethode
converge avec un ordre q si elle est d’ordre q et si l’erreur sur les donn´ ees
initiales est un O(h
q ).
D´ emonstration. voir [QSS07], Th´ eor` eme 11.5.
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Une cons´ equence remarquable de ce r´ esultat est le th´ eor` eme d’´ equivalence de
Lax-Richtmyer :
Corollaire 10.1 (th´ eor` eme d’´ equivalence) Un m´ ethode multi-pas consistante est convergente si et seulement si elle est z´ ero-stable et l’erreur sur les
donn´ ees initiales tend vers z´ ero quand h tend vers z´ ero.
Nous concluons cette section avec le r´ esultat suivant, qui ´ etablit une limite
sup´ erieure pour l’ordre des m´ ethodes multi-pas (voir [Dah63]).
Propri´ et´ e 10.3 (premi` ere barri` ere de Dahlquist) Il n’y a pas de m´ ethode ` a q pas lin´ eaire z´ ero-stable d’ordre sup´ erieur `
a q + 1 si q est impair,
q + 2 si q est pair.
10.6.4 Stabilit´ e absolue des m´ ethodes multi-pas
Consid´ erons ` a nouveau l’´ equation aux diff´ erences (10.55) obtenue en appliquant la m´ ethode multi-pas (10.46) au probl` eme mod` ele (10.24). D’apr` es
(10.33), sa solution est de la forme
u n =
k
j=1
mj −1
s=0
γ sj n
s
[r j (hλ)]
n ,
n= 0, 1, . . . ,
o` u les r j (hλ), j = 1, . . ., k
, sont les racines distinctes du polynˆ ome caract´ eristique (10.56), et o` u on a not´ e m j la multiplicit´ e de r j (hλ). Au regard de
(10.25), il est clair que la condition de racines absolue introduite `
a la D´ efinition 10.12 est n´ ecessaire et suffisante pour assurer que la m´ ethode multi-pas
(10.46) est absolument stable quand h ≤ h 0 .
Les m´ ethodes multi-pas dont la r´ egion de stabilit´ e A (voir (10.26)) est non
born´ ee constituent un exemple remarquable de m´ ethodes absolument stables.
Parmi elles on trouve les m´ ethodes A-stables, introduites `
a la fin de la
Section 10.3.3, et les m´ ethodes ϑ-stables, pour lesquelles A contient le secteur