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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
10.6.3 Analyse de stabilit´ e et convergence des m´ ethodes
multi-pas
Examinons `
a pr´ esent les liens entre les conditions de racines et la stabilit´ e des
m´ ethodes multi-pas. En g´ en´ eralisant la D´ efinition 10.4, on a :
D´ efinition 10.13 (z´ ero-stabilit´ e des m´ ethodes multi-pas) La m´ ethode
multi-pas (10.46) est z´ ero-stable si
∃h 0 > 0, ∃C > 0 : ∀h ∈ (0, h 0 ], |z
(h)
n − u
(h)
n | ≤ Cε, 0 ≤ n ≤ N h , (10.59)
o` u N h = max {n : t n ≤ t 0 + T }, et o` u z
(h)
n
et u
(h)
n
sont respectivement les
solutions des probl` emes :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
z
(h)
n+1 =
p
j=0
a j z
(h)
n−j + h
p
j=−1
b j f(t n−j , z
(h)
n−j ) + hδ n+1 ,
z
(h)
k = w
(h)
k + δ k ,
k = 0, . . . , p,
(10.60)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
u
(h)
n+1 =
p
j=0
a j u
(h)
n−j + h
p
j=−1
b j f(t n−j , u
(h)
n−j ),
u
(h)
k = w
(h)
k ,
k = 0, . . ., p
(10.61)
pour p ≤ n ≤ N h − 1, o` u |δ k | ≤ ε, 0 ≤ k ≤ N h , w
(h)
0
= y 0 et o` u w
(h)
k ,
k = 1, . . . , p, sont p valeurs initiales construites `
a partir d’un autre sch´ ema
num´ erique.
Propri´ et´ e 10.1 (z´ ero-stabilit´ e et condition de racines) Pour une m´ ethode multi-pas consistante, la condition de racines est ´ equivalente `
a la z´ erostabilit´ e.
La Propri´ et´ e 10.1, dont la d´ emonstration est p. ex. donn´ ee dans [QSS07]
(Th´ eor` eme 11.4), permet d’´ etudier la stabilit´ e de plusieurs familles de m´ ethodes.
Dans le cas particulier des m´ ethodes consistantes ` a un pas, le polynˆ ome ρ
n’admet que la racine r 0 = 1. Ces m´ ethodes satisfont donc automatiquement
la condition de racines et sont donc z´ ero-stables.
Pour les m´ ethodes d’Adams (10.50), le polynˆ ome ρ est toujours de la forme
ρ(r) = r
p+1
− r
p . Ses racines sont donc r 0 = 1 et r 1 = 0 (de multiplicit´ e p),
et toutes les m´ ethodes d’Adams sont z´ ero-stables.
Les m´ ethodes du point milieu (10.44) et de Simpson (10.45) sont aussi
z´ ero-stables : dans les deux cas, le premier polynˆ ome caract´ eristique est ρ(r) =
r
2
− 1, d’o` u r 0 = 1 et r 1 = −1.
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
10.6.3 Analyse de stabilit´ e et convergence des m´ ethodes
multi-pas
Examinons `
a pr´ esent les liens entre les conditions de racines et la stabilit´ e des
m´ ethodes multi-pas. En g´ en´ eralisant la D´ efinition 10.4, on a :
D´ efinition 10.13 (z´ ero-stabilit´ e des m´ ethodes multi-pas) La m´ ethode
multi-pas (10.46) est z´ ero-stable si
∃h 0 > 0, ∃C > 0 : ∀h ∈ (0, h 0 ], |z
(h)
n − u
(h)
n | ≤ Cε, 0 ≤ n ≤ N h , (10.59)
o` u N h = max {n : t n ≤ t 0 + T }, et o` u z
(h)
n
et u
(h)
n
sont respectivement les
solutions des probl` emes :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
z
(h)
n+1 =
p
j=0
a j z
(h)
n−j + h
p
j=−1
b j f(t n−j , z
(h)
n−j ) + hδ n+1 ,
z
(h)
k = w
(h)
k + δ k ,
k = 0, . . . , p,
(10.60)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
u
(h)
n+1 =
p
j=0
a j u
(h)
n−j + h
p
j=−1
b j f(t n−j , u
(h)
n−j ),
u
(h)
k = w
(h)
k ,
k = 0, . . ., p
(10.61)
pour p ≤ n ≤ N h − 1, o` u |δ k | ≤ ε, 0 ≤ k ≤ N h , w
(h)
0
= y 0 et o` u w
(h)
k ,
k = 1, . . . , p, sont p valeurs initiales construites `
a partir d’un autre sch´ ema
num´ erique.
Propri´ et´ e 10.1 (z´ ero-stabilit´ e et condition de racines) Pour une m´ ethode multi-pas consistante, la condition de racines est ´ equivalente `
a la z´ erostabilit´ e.
La Propri´ et´ e 10.1, dont la d´ emonstration est p. ex. donn´ ee dans [QSS07]
(Th´ eor` eme 11.4), permet d’´ etudier la stabilit´ e de plusieurs familles de m´ ethodes.
Dans le cas particulier des m´ ethodes consistantes ` a un pas, le polynˆ ome ρ
n’admet que la racine r 0 = 1. Ces m´ ethodes satisfont donc automatiquement
la condition de racines et sont donc z´ ero-stables.
Pour les m´ ethodes d’Adams (10.50), le polynˆ ome ρ est toujours de la forme
ρ(r) = r
p+1
− r
p . Ses racines sont donc r 0 = 1 et r 1 = 0 (de multiplicit´ e p),
et toutes les m´ ethodes d’Adams sont z´ ero-stables.
Les m´ ethodes du point milieu (10.44) et de Simpson (10.45) sont aussi
z´ ero-stables : dans les deux cas, le premier polynˆ ome caract´ eristique est ρ(r) =
r
2
− 1, d’o` u r 0 = 1 et r 1 = −1.