10.6 Analyse des m´ ethodes multi-pas
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qui est de la forme (10.29). On peut donc appliquer la th´ eorie d´ evelopp´ ee
` a la Section 10.4 et chercher des solutions fondamentales de la forme u k =
[r i (hλ)]
k , k = 0, 1, . . ., o` u r i (hλ), i = 0, . . . , p, sont les racines du polynˆ ome
Π ∈ P p+1
Π(r) = ρ(r) − hλσ(r).
(10.56)
On a not´ e
ρ(r) = r p+1 −
p
j=0
a j r
p−j
et σ(r) = b −1 r p+1 +
p
j=0
b j r
p−j
le premier et le second polynˆ ome caract´ eristique de la m´ ethode multi-pas
(10.46). Le polynˆ ome Π(r) est le polynˆ ome caract´ eristique associ´ e ` a l’´ equation
aux diff´ erences (10.55), et les r j (hλ) sont ses racines caract´ eristiques.
Les racines de ρ sont r i (0), i = 0, . . . , p ; on les notera simplement r i dans
la suite. On d´ eduit de la premi` ere condition (10.53) que si une m´ ethode multipas est consistante alors 1 est une racine de ρ. Nous supposerons que cette
racine (“la racine de consistance”) est r 0 (0) = r 0 et nous appellerons racine
principale la racine r 0 (hλ) correspondante.
D´ efinition 10.10 (condition de racines) On dit que la m´ ethode multipas (10.46) satisfait la condition de racines si toute racine r i est soit contenue
` a l’int´ erieur du disque unit´ e centr´ e ` a l’origine du plan complexe, soit situ´ ee
sur sa fronti` ere, mais dans ce dernier cas, elle doit ˆ etre une racine simple de
ρ. Autrement dit,
|r j | ≤ 1,
j = 0, . . ., p,
pour les j tels que |r j | = 1, alors ρ
(r j ) = 0.
(10.57)
D´ efinition 10.11 (condition de racines forte) On dit que la m´ ethode
multi-pas (10.46) satisfait la condition de racines forte si elle satisfait la condition de racines et si r 0 = 1 est la seule racine situ´ ee sur la fronti` ere du disque
unit´ e. Autrement dit,
|r j | < 1,
j = 1, . . . , p.
(10.58)
D´ efinition 10.12 (condition de racines absolue) La m´ ethode multi-pas
(10.46) satisfait la condition de racines absolue s’il existe h 0 > 0 tel que
|r j (hλ)| < 1,
j = 0, . . . , p, ∀h ≤ h 0 .
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qui est de la forme (10.29). On peut donc appliquer la th´ eorie d´ evelopp´ ee
` a la Section 10.4 et chercher des solutions fondamentales de la forme u k =
[r i (hλ)]
k , k = 0, 1, . . ., o` u r i (hλ), i = 0, . . . , p, sont les racines du polynˆ ome
Π ∈ P p+1
Π(r) = ρ(r) − hλσ(r).
(10.56)
On a not´ e
ρ(r) = r p+1 −
p
j=0
a j r
p−j
et σ(r) = b −1 r p+1 +
p
j=0
b j r
p−j
le premier et le second polynˆ ome caract´ eristique de la m´ ethode multi-pas
(10.46). Le polynˆ ome Π(r) est le polynˆ ome caract´ eristique associ´ e ` a l’´ equation
aux diff´ erences (10.55), et les r j (hλ) sont ses racines caract´ eristiques.
Les racines de ρ sont r i (0), i = 0, . . . , p ; on les notera simplement r i dans
la suite. On d´ eduit de la premi` ere condition (10.53) que si une m´ ethode multipas est consistante alors 1 est une racine de ρ. Nous supposerons que cette
racine (“la racine de consistance”) est r 0 (0) = r 0 et nous appellerons racine
principale la racine r 0 (hλ) correspondante.
D´ efinition 10.10 (condition de racines) On dit que la m´ ethode multipas (10.46) satisfait la condition de racines si toute racine r i est soit contenue
` a l’int´ erieur du disque unit´ e centr´ e ` a l’origine du plan complexe, soit situ´ ee
sur sa fronti` ere, mais dans ce dernier cas, elle doit ˆ etre une racine simple de
ρ. Autrement dit,
|r j | ≤ 1,
j = 0, . . ., p,
pour les j tels que |r j | = 1, alors ρ
(r j ) = 0.
(10.57)
D´ efinition 10.11 (condition de racines forte) On dit que la m´ ethode
multi-pas (10.46) satisfait la condition de racines forte si elle satisfait la condition de racines et si r 0 = 1 est la seule racine situ´ ee sur la fronti` ere du disque
unit´ e. Autrement dit,
|r j | < 1,
j = 1, . . . , p.
(10.58)
D´ efinition 10.12 (condition de racines absolue) La m´ ethode multi-pas
(10.46) satisfait la condition de racines absolue s’il existe h 0 > 0 tel que
|r j (hλ)| < 1,
j = 0, . . . , p, ∀h ≤ h 0 .