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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
(10.53), les relations suivantes sont v´ erifi´ ees
p
j=0
(−j)
i a j + i
p
j=−1
(−j)
i−1 b j = 1, i = 2, . . . , q.
D´ emonstration. En ´ ecrivant les d´ eveloppements de Taylor de y et f , on a, pour
n ≥ p
yn−j = yn − jhy
n + O(h
2 ),
f(tn−j, yn−j) = f (tn, yn) + O(h).
(10.54)
En injectant ces valeurs dans le sch´ ema multi-pas et en n´ egligeant les termes en h
d’ordre sup´ erieur `
a 1, on trouve
yn+1 −
p
j=0
aj yn−j − h
p
j=−1
bjf (tn−j, yn−j )
= yn+1 −
p
j=0
ajyn + h
p
j=0
jajy
n − h
p
j=−1
bj f (tn, yn) − O(h
2 )
p
j=0
aj −
p
j=−1
bj
= yn+1 −
p
j=0
ajyn − hy
n
−
p
j=0
jaj +
p
j=−1
bj
− O(h
2 )
p
j=0
aj −
p
j=−1
bj
,
o` u on a remplac´ e y
n par fn. D’apr` es la d´ efinition (10.48), on obtient donc
hτn+1(h) = yn+1 −
p
j=0
aj yn − hy
n
−
p
j=0
jaj +
p
j=−1
bj
− O(h
2 )
p
j=0
aj −
p
j=−1
bj
,
d’o` u on d´ eduit l’erreur de troncature locale
τn+1(h) =
yn+1 − yn
h
+
yn
h
1 −
p
j=0
aj
+y
n
p
j=0
jaj −
p
j=−1
bj
− O(h)
p
j=0
aj −
p
j=−1
bj
.
Puisque, pour tout n, (yn+1 − yn)/h → y
n , quand h → 0, on en d´ eduit que τn+1(h)
tend vers 0 quand h tend vers 0 si et seulement si les relations alg´ ebriques (10.53)
sont satisfaites. Le reste de la preuve peut ˆ etre fait de mani` ere analogue en prenant
en compte des termes d’ordre plus ´ elev´ e dans les d´ eveloppements (10.54).
3
10.6.2 Les conditions de racines
Utilisons les m´ ethodes multi-pas (10.46) pour r´ esoudre de mani` ere approch´ ee
le probl` eme mod` ele (10.24). La solution num´ erique satisfait l’´ equation aux
diff´ erences lin´ eaire
u n+1 =
p
j=0
a j u n−j + hλ
p
j=−1
b j u n−j ,
(10.55)