10.6 Analyse des m´ ethodes multi-pas
393
la d´ eriv´ ee premi` ere de y au noeud t n+1 par la d´ eriv´ ee premi` ere du polynˆ ome
interpolant y aux p + 2 noeuds t n+1 , t n , . . . , t n−p , avec p ≥ 0.
On obtient alors des sch´ emas de la forme
u n+1 =
p
j=0
a j u n−j + hb −1 f n+1
avec b −1 = 0. La m´ ethode (10.8) en est l’exemple le plus ´ el´ ementaire, elle
correspond aux coefficients a 0 = 1 et b −1 = 1.
On indique dans la Table 10.2 les coefficients des m´ ethodes BDF z´ erostables. Nous verrons en effet ` a la Section 10.6.3 que les m´ ethodes BDF ne
sont z´ ero-stables que pour p ≤ 5 (voir [Cry73]).
Table 10.2. Coefficients des m´ ethodes BDF z´ ero-stables (p = 0, 1, . . . , 5)
p a 0
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
b −1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
4
3
-
1
3
0
0
0
0
2
3
2
18
11
-
9
11
2
11
0
0
0
6
11
3
48
25
-
36
25
16
25
-
3
25
0
0
12
25
4
300
137
-
300
137
200
137
-
75
137
12
137
0
60
137
5
360
147
-
450
147
400
147
-
225
147
72
147
-
10
147
60
137
10.6 Analyse des m´ ethodes multi-pas
Comme nous l’avons fait pour les m´ ethodes ` a un pas, nous ´ etablissons dans
cette section les conditions alg´ ebriques qui assurent la consistance et la stabilit´ e des m´ ethodes multi-pas.
10.6.1 Consistance
On peut ´ etablir la propri´ et´ e suivante :
Th´ eor` eme 10.3 La m´ ethode multi-pas (10.46) est consistante si et seulement
si les coefficients satisfont les relations alg´ ebriques
p
j=0
a j = 1, −
p
j=0
ja j +
p
j=−1
b j = 1.
(10.53)
Si de plus y ∈ C
q+1 (I) pour un q ≥ 1, o` u y est la solution du probl` eme de
Cauchy (10.1), alors la m´ ethode est d’ordre q si et seulement si, en plus de
393
la d´ eriv´ ee premi` ere de y au noeud t n+1 par la d´ eriv´ ee premi` ere du polynˆ ome
interpolant y aux p + 2 noeuds t n+1 , t n , . . . , t n−p , avec p ≥ 0.
On obtient alors des sch´ emas de la forme
u n+1 =
p
j=0
a j u n−j + hb −1 f n+1
avec b −1 = 0. La m´ ethode (10.8) en est l’exemple le plus ´ el´ ementaire, elle
correspond aux coefficients a 0 = 1 et b −1 = 1.
On indique dans la Table 10.2 les coefficients des m´ ethodes BDF z´ erostables. Nous verrons en effet ` a la Section 10.6.3 que les m´ ethodes BDF ne
sont z´ ero-stables que pour p ≤ 5 (voir [Cry73]).
Table 10.2. Coefficients des m´ ethodes BDF z´ ero-stables (p = 0, 1, . . . , 5)
p a 0
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
b −1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
4
3
-
1
3
0
0
0
0
2
3
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-
9
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0
0
0
6
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25
-
36
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12
25
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300
137
-
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60
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5
360
147
-
450
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-
225
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10.6 Analyse des m´ ethodes multi-pas
Comme nous l’avons fait pour les m´ ethodes ` a un pas, nous ´ etablissons dans
cette section les conditions alg´ ebriques qui assurent la consistance et la stabilit´ e des m´ ethodes multi-pas.
10.6.1 Consistance
On peut ´ etablir la propri´ et´ e suivante :
Th´ eor` eme 10.3 La m´ ethode multi-pas (10.46) est consistante si et seulement
si les coefficients satisfont les relations alg´ ebriques
p
j=0
a j = 1, −
p
j=0
ja j +
p
j=−1
b j = 1.
(10.53)
Si de plus y ∈ C
q+1 (I) pour un q ≥ 1, o` u y est la solution du probl` eme de
Cauchy (10.1), alors la m´ ethode est d’ordre q si et seulement si, en plus de