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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Remarquer que les sch´ emas d’Adams-Bashforth utilisent ˜
p + 1 noeuds et sont
des m´ ethodes ` a ˜
p+1 pas (avec ˜
p ≥ 0). De plus, les sch´ emas d’Adams-Bashforth
` a q pas sont d’ordre q. Les constantes d’erreur C
∗
q+1 de ces m´ ethodes sont
r´ eunies dans la Table 10.1.
M´ ethodes d’Adams-Moulton. Si ˜
p = −1, on retrouve le sch´ ema d’Euler
r´ etrograde. Si ˜
p = 0, on construit le polynˆ ome d’interpolation de degr´ e un de
f aux noeuds t n et t n+1 , et on retrouve le sch´ ema de Crank-Nicolson (10.9).
Pour la m´ ethode `
a deux pas (˜ p = 1), on construit le polynˆ ome d’interpolation
de degr´ e 2 de f aux noeuds t n−1 , t n , t n+1 , et on obtient le sch´ ema suivant
u n+1 = u n +
h
12
[5f n+1 + 8f n − f n−1 ] .
(10.52)
Les sch´ emas correspondant ` a ˜
p = 2 et 3 sont respectivement donn´ es par
u n+1 = u n +
h
24
(9f n+1 + 19f n − 5f n−1 + f n−2 )
et
u n+1 = u n +
h
720
(251f n+1 + 646f n − 264f n−1 + 106f n−2 − 19f n−3 ) .
Les sch´ emas d’Adams-Moulton utilisent ˜
p + 2 noeuds et sont `
a ˜
p + 1 pas si
˜
p ≥ 0, la seule exception ´ etant le sch´ ema d’Euler r´ etrograde (˜ p = −1) qui
est ` a un pas et utilise un noeud. Les sch´ emas d’Adams-Moulton ` a q pas sont
d’ordre q + 1, except´ e ` a nouveau le sch´ ema d’Euler r´ etrograde qui est une
m´ ethode `
a un pas d’ordre un. Leurs constantes d’erreur C q+1 sont report´ ees
dans la Table 10.1.
Table 10.1. Constantes d’erreur pour les m´ ethodes d’Adams-Bashforth et d’AdamsMoulton d’ordre q
q C
∗
q+1
C q+1 q C
∗
q+1
C q+1
1
1
2
−
1
2
3
3
8
−
1
24
2
5
12
−
1
12
4
251
720
−
19
720
10.5.2 M´ ethodes BDF
Les formules de diff´ erentiation r´ etrograde (not´ ees BDF pour backward differentiation formulae) sont des m´ ethodes multi-pas implicites obtenues par une
approche compl´ ementaire de celle suivie pour les m´ ethodes d’Adams. Pour
ces derni` eres, on a effectu´ e une int´ egration num´ erique de la fonction source
f, tandis que dans les m´ ethodes BDF on approche directement la valeur de
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Remarquer que les sch´ emas d’Adams-Bashforth utilisent ˜
p + 1 noeuds et sont
des m´ ethodes ` a ˜
p+1 pas (avec ˜
p ≥ 0). De plus, les sch´ emas d’Adams-Bashforth
` a q pas sont d’ordre q. Les constantes d’erreur C
∗
q+1 de ces m´ ethodes sont
r´ eunies dans la Table 10.1.
M´ ethodes d’Adams-Moulton. Si ˜
p = −1, on retrouve le sch´ ema d’Euler
r´ etrograde. Si ˜
p = 0, on construit le polynˆ ome d’interpolation de degr´ e un de
f aux noeuds t n et t n+1 , et on retrouve le sch´ ema de Crank-Nicolson (10.9).
Pour la m´ ethode `
a deux pas (˜ p = 1), on construit le polynˆ ome d’interpolation
de degr´ e 2 de f aux noeuds t n−1 , t n , t n+1 , et on obtient le sch´ ema suivant
u n+1 = u n +
h
12
[5f n+1 + 8f n − f n−1 ] .
(10.52)
Les sch´ emas correspondant ` a ˜
p = 2 et 3 sont respectivement donn´ es par
u n+1 = u n +
h
24
(9f n+1 + 19f n − 5f n−1 + f n−2 )
et
u n+1 = u n +
h
720
(251f n+1 + 646f n − 264f n−1 + 106f n−2 − 19f n−3 ) .
Les sch´ emas d’Adams-Moulton utilisent ˜
p + 2 noeuds et sont `
a ˜
p + 1 pas si
˜
p ≥ 0, la seule exception ´ etant le sch´ ema d’Euler r´ etrograde (˜ p = −1) qui
est ` a un pas et utilise un noeud. Les sch´ emas d’Adams-Moulton ` a q pas sont
d’ordre q + 1, except´ e ` a nouveau le sch´ ema d’Euler r´ etrograde qui est une
m´ ethode `
a un pas d’ordre un. Leurs constantes d’erreur C q+1 sont report´ ees
dans la Table 10.1.
Table 10.1. Constantes d’erreur pour les m´ ethodes d’Adams-Bashforth et d’AdamsMoulton d’ordre q
q C
∗
q+1
C q+1 q C
∗
q+1
C q+1
1
1
2
−
1
2
3
3
8
−
1
24
2
5
12
−
1
12
4
251
720
−
19
720
10.5.2 M´ ethodes BDF
Les formules de diff´ erentiation r´ etrograde (not´ ees BDF pour backward differentiation formulae) sont des m´ ethodes multi-pas implicites obtenues par une
approche compl´ ementaire de celle suivie pour les m´ ethodes d’Adams. Pour
ces derni` eres, on a effectu´ e une int´ egration num´ erique de la fonction source
f, tandis que dans les m´ ethodes BDF on approche directement la valeur de