10.5 M´ ethodes multi-pas
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10.5.1 M´ ethodes d’Adams
On d´ eduit ces m´ ethodes de la forme int´ egrale (10.2) en ´ evaluant de mani` ere
approch´ ee l’int´ egrale de f entre t n et t n+1 . On suppose les noeuds de discr´ etisation ´ equir´ epartis, c’est-` a-dire t j = t 0 + jh, avec h > 0 et j ≥ 1. On int` egre
alors, au lieu de f, son polynˆ ome d’interpolation aux ˜
p + ϑ noeuds distincts,
o` u ϑ = 1 quand les m´ ethodes sont explicites (dans ce cas ˜
p ≥ 0) et ϑ = 2
quand les m´ ethodes sont implicites (dans ce cas ˜
p ≥ −1). Les sch´ emas obtenus
ont la forme suivante
u n+1 = u n + h
˜
p+ϑ
j=−1
b j f n−j .
(10.50)
Les noeuds d’interpolation peuvent ˆ etre ou bien :
1. t n , t n−1 , . . . , t n− ˜
p (dans ce cas b −1 = 0 et la m´ ethode est explicite) ;
ou bien
2. t n+1 , t n , . . ., t n− ˜
p (dans ce cas b −1 = 0 et le sch´ ema est implicite).
Ces sch´ emas implicites sont appel´ es m´ ethodes d’Adams-Moulton, et les explicites sont appel´ es m´ ethodes d’Adams-Bashforth.
M´ ethodes d’Adams-Bashforth. En prenant ˜
p = 0, on retrouve la m´ ethode d’Euler progressive, puisque le polynˆ ome d’interpolation de degr´ e z´ ero
au noeud t n est simplement Π 0 f = f n . Pour ˜
p = 1, le polynˆ ome d’interpolation lin´ eaire aux noeuds t n−1 et t n est
Π 1 f(t) = f n + (t − t n )
f n−1 − f n
t n−1 − t n
.
Comme Π 1 f(t n ) = f n et Π 1 f(t n+1 ) = 2f n − f n−1 , on obtient
tn+1
tn
Π 1 f(t) =
h
2
[Π 1 f(t n ) + Π 1 f(t n+1 )] =
h
2
[3f n − f n−1 ] .
Le sch´ ema d’Adams-Bashforth `
a deux pas est donc
u n+1 = u n +
h
2
[3f n − f n−1 ] .
(10.51)
Si ˜
p = 2, on trouve de fa¸ con analogue le sch´ ema d’Adams-Bashforth `
a trois
pas
u n+1 = u n +
h
12
[23f n − 16f n−1 + 5f n−2 ]
et pour ˜
p = 3, on a le sch´ ema d’Adams-Bashforth `
a quatre pas
u n+1 = u n +
h
24
(55f n − 59f n−1 + 37f n−2 − 9f n−3 ) .