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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
10.5 M´ ethodes multi-pas
Introduisons `
a pr´ esent quelques exemples de m´ ethodes multi-pas, c’est-` a-dire
des m´ ethodes pour lesquelles la solution num´ erique au noeud t n+1 d´ epend de
la solution en des noeuds t k avec k ≤ n − 1. La D´ efinition 10.2 peut ˆ etre
´ etendue comme suit.
D´ efinition 10.7 (m´ ethode ` a q pas) Une m´ ethode `
a q pas (q ≥ 1) est telle
que, ∀n ≥ q − 1, u n+1 d´ epend directement de u n+1−q , mais pas des valeurs de
u k avec k < n + 1 − q.
Une m´ ethode explicite `
a deux pas bien connue peut ˆ etre obtenue en utilisant le sch´ ema aux diff´ erences finies centr´ ees (9.62) pour approcher la d´ eriv´ ee
premi` ere dans (10.1). Ceci conduit `
a la m´ ethode du point milieu
u n+1 = u n−1 + 2hf n ,
n≥ 1,
(10.44)
o` u u 0 = y 0 , u 1 est ` a d´ eterminer et f n d´ esigne la valeur f(t n , u n ).
Un exemple de sch´ ema implicite ` a deux pas est donn´ e par la m´ ethode
de Simpson, obtenue `
a partir de la forme int´ egrale (10.2) avec t 0 = t n−1 et
t = t n+1 ` a laquelle on applique la formule de quadrature de Cavalieri-Simpson :
u n+1 = u n−1 +
h
3
[f n−1 + 4f n + f n+1 ],
n≥ 1,
(10.45)
o` u u 0 = y 0 , et u 1 est ` a d´ eterminer.
Il est clair, au regard de ces exemples, qu’une m´ ethode multi-pas n´ ecessite q
valeurs initiales u 0 , . . . , u q−1 pour “d´ emarrer”. Comme le probl` eme de Cauchy
ne fournit qu’une seule donn´ ee (u 0 ), on doit trouver une mani` ere de fixer les
autres valeurs. Une possibilit´ e consiste ` a utiliser des m´ ethodes explicites ` a un
pas d’ordre ´ elev´ e, par exemple celle de Heun (10.10) ou celles de Runge-Kutta
que nous verrons `
a la Section 10.8.
Dans cette section, nous pr´ esentons les m´ ethodes multi-pas lin´ eaires ` a p+1
pas (avec p ≥ 0) d´ efinies par
u n+1 =
p
j=0
a j u n−j + h
p
j=0
b j f n−j + hb −1 f n+1 , n = p, p + 1, . . . (10.46)
Les coefficients a j , b j sont r´ eels et caract´ erisent compl` etement le sch´ ema ;
on suppose que a p = 0 ou b p = 0. Si b −1 = 0 le sch´ ema est implicite, autrement
il est explicite.
On peut reformuler (10.46) ainsi
p+1
s=0
α s u n+s = h
p+1
s=0
β s f(t n+s , u n+s ), n = 0, 1, . . ., N h − (p + 1), (10.47)
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
10.5 M´ ethodes multi-pas
Introduisons `
a pr´ esent quelques exemples de m´ ethodes multi-pas, c’est-` a-dire
des m´ ethodes pour lesquelles la solution num´ erique au noeud t n+1 d´ epend de
la solution en des noeuds t k avec k ≤ n − 1. La D´ efinition 10.2 peut ˆ etre
´ etendue comme suit.
D´ efinition 10.7 (m´ ethode ` a q pas) Une m´ ethode `
a q pas (q ≥ 1) est telle
que, ∀n ≥ q − 1, u n+1 d´ epend directement de u n+1−q , mais pas des valeurs de
u k avec k < n + 1 − q.
Une m´ ethode explicite `
a deux pas bien connue peut ˆ etre obtenue en utilisant le sch´ ema aux diff´ erences finies centr´ ees (9.62) pour approcher la d´ eriv´ ee
premi` ere dans (10.1). Ceci conduit `
a la m´ ethode du point milieu
u n+1 = u n−1 + 2hf n ,
n≥ 1,
(10.44)
o` u u 0 = y 0 , u 1 est ` a d´ eterminer et f n d´ esigne la valeur f(t n , u n ).
Un exemple de sch´ ema implicite ` a deux pas est donn´ e par la m´ ethode
de Simpson, obtenue `
a partir de la forme int´ egrale (10.2) avec t 0 = t n−1 et
t = t n+1 ` a laquelle on applique la formule de quadrature de Cavalieri-Simpson :
u n+1 = u n−1 +
h
3
[f n−1 + 4f n + f n+1 ],
n≥ 1,
(10.45)
o` u u 0 = y 0 , et u 1 est ` a d´ eterminer.
Il est clair, au regard de ces exemples, qu’une m´ ethode multi-pas n´ ecessite q
valeurs initiales u 0 , . . . , u q−1 pour “d´ emarrer”. Comme le probl` eme de Cauchy
ne fournit qu’une seule donn´ ee (u 0 ), on doit trouver une mani` ere de fixer les
autres valeurs. Une possibilit´ e consiste ` a utiliser des m´ ethodes explicites ` a un
pas d’ordre ´ elev´ e, par exemple celle de Heun (10.10) ou celles de Runge-Kutta
que nous verrons `
a la Section 10.8.
Dans cette section, nous pr´ esentons les m´ ethodes multi-pas lin´ eaires ` a p+1
pas (avec p ≥ 0) d´ efinies par
u n+1 =
p
j=0
a j u n−j + h
p
j=0
b j f n−j + hb −1 f n+1 , n = p, p + 1, . . . (10.46)
Les coefficients a j , b j sont r´ eels et caract´ erisent compl` etement le sch´ ema ;
on suppose que a p = 0 ou b p = 0. Si b −1 = 0 le sch´ ema est implicite, autrement
il est explicite.
On peut reformuler (10.46) ainsi
p+1
s=0
α s u n+s = h
p+1
s=0
β s f(t n+s , u n+s ), n = 0, 1, . . ., N h − (p + 1), (10.47)