10.5 M´ ethodes multi-pas
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o` u on a pos´ e α p+1 = 1, α s = −a p−s pour s = 0, . . ., p et β s = b p−s pour
s = 0, . . ., p + 1. La relation (10.47) est un cas particulier d’´ equation aux
diff´ erences lin´ eaire (10.28), avec k = p + 1 et ϕ n+j = hβ j f(t n+j , u n+j ), pour
j = 0, . . . , p + 1.
D´ efinition 10.8 L’erreur de troncature locale τ n+1 (h) induite par la m´ ethode
multi-pas (10.46) en t n+1 (pour n ≥ p) est d´ efinie par
hτ n+1 (h) = y n+1 −
⎡
⎣
p
j=0
a j y n−j + h
p
j=−1
b j y
n−j
⎤
⎦ ,
n≥ p,
(10.48)
o` u y n−j = y(t n−j ) et y
n−j = y
(t n−j ) pour j = −1, . . . , p.
Comme pour les m´ ethodes ` a un pas, la quantit´ e hτ n+1 (h) est le r´ esidu obtenu
en t n+1 si on “injecte” la solution exacte dans le sch´ ema num´ erique. En posant
τ (h) = max
n
|τ n (h)|, on a la d´ efinition suivante :
D´ efinition 10.9 (consistance) La m´ ethode multi-pas (10.46) est consistante si τ (h) → 0 quand h → 0. Si de plus τ (h) = O(h
q ), pour un q ≥ 1, la
m´ ethode est dite d’ordre q.
On peut caract´ eriser de mani` ere plus pr´ ecise l’erreur de troncature locale
en introduisant l’op´ erateur lin´ eaire L associ´ e ` a la m´ ethode multi-pas lin´ eaire (10.46) d´ efini par
L[w(t); h] = w(t + h) −
p
j=0
a j w(t − jh) − h
p
j=−1
b j w
(t − jh),
(10.49)
o` u w ∈ C
1 (I) est une fonction arbitraire. Noter que l’erreur de troncature
locale est exactement L[y(t n ); h]. En supposant w assez r´ eguli` ere, on calcule
w et w
aux points t − jh ` a l’aide du d´ eveloppement de Taylor de ces fonctions
en t − ph :
L[w(t); h] = C 0 w(t − ph) + C 1 hw
(1) (t − ph) + . . . + C k h
k w
(k) (t − ph) + . . .
Par cons´ equent, si la m´ ethode multi-pas est d’ordre q et si y ∈ C
q+1 (I), on a
τ n+1 (h) = C q+1 h
q+1 y
(q+1) (t n−p ) + O(h
q+2 ).
Le terme C q+1 h
q+1 y
(q+1) (t n−p ) est appel´ e erreur de troncature locale principale et C q+1 est la constante d’erreur. L’erreur de troncature locale principale
est tr` es utilis´ ee dans la d´ efinition de strat´ egies adaptatives pour les m´ ethodes
multi-pas (voir [Lam91], Chapitre 3).
Le Programme 80 propose une impl´ ementation MATLAB des m´ ethodes multipas de la forme (10.46) pour la r´ esolution du probl` eme de Cauchy sur l’intervalle ]t 0 , T [. Les param` etres d’entr´ ee sont : le vecteur colonne a qui contient
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o` u on a pos´ e α p+1 = 1, α s = −a p−s pour s = 0, . . ., p et β s = b p−s pour
s = 0, . . ., p + 1. La relation (10.47) est un cas particulier d’´ equation aux
diff´ erences lin´ eaire (10.28), avec k = p + 1 et ϕ n+j = hβ j f(t n+j , u n+j ), pour
j = 0, . . . , p + 1.
D´ efinition 10.8 L’erreur de troncature locale τ n+1 (h) induite par la m´ ethode
multi-pas (10.46) en t n+1 (pour n ≥ p) est d´ efinie par
hτ n+1 (h) = y n+1 −
⎡
⎣
p
j=0
a j y n−j + h
p
j=−1
b j y
n−j
⎤
⎦ ,
n≥ p,
(10.48)
o` u y n−j = y(t n−j ) et y
n−j = y
(t n−j ) pour j = −1, . . . , p.
Comme pour les m´ ethodes ` a un pas, la quantit´ e hτ n+1 (h) est le r´ esidu obtenu
en t n+1 si on “injecte” la solution exacte dans le sch´ ema num´ erique. En posant
τ (h) = max
n
|τ n (h)|, on a la d´ efinition suivante :
D´ efinition 10.9 (consistance) La m´ ethode multi-pas (10.46) est consistante si τ (h) → 0 quand h → 0. Si de plus τ (h) = O(h
q ), pour un q ≥ 1, la
m´ ethode est dite d’ordre q.
On peut caract´ eriser de mani` ere plus pr´ ecise l’erreur de troncature locale
en introduisant l’op´ erateur lin´ eaire L associ´ e ` a la m´ ethode multi-pas lin´ eaire (10.46) d´ efini par
L[w(t); h] = w(t + h) −
p
j=0
a j w(t − jh) − h
p
j=−1
b j w
(t − jh),
(10.49)
o` u w ∈ C
1 (I) est une fonction arbitraire. Noter que l’erreur de troncature
locale est exactement L[y(t n ); h]. En supposant w assez r´ eguli` ere, on calcule
w et w
aux points t − jh ` a l’aide du d´ eveloppement de Taylor de ces fonctions
en t − ph :
L[w(t); h] = C 0 w(t − ph) + C 1 hw
(1) (t − ph) + . . . + C k h
k w
(k) (t − ph) + . . .
Par cons´ equent, si la m´ ethode multi-pas est d’ordre q et si y ∈ C
q+1 (I), on a
τ n+1 (h) = C q+1 h
q+1 y
(q+1) (t n−p ) + O(h
q+2 ).
Le terme C q+1 h
q+1 y
(q+1) (t n−p ) est appel´ e erreur de troncature locale principale et C q+1 est la constante d’erreur. L’erreur de troncature locale principale
est tr` es utilis´ ee dans la d´ efinition de strat´ egies adaptatives pour les m´ ethodes
multi-pas (voir [Lam91], Chapitre 3).
Le Programme 80 propose une impl´ ementation MATLAB des m´ ethodes multipas de la forme (10.46) pour la r´ esolution du probl` eme de Cauchy sur l’intervalle ]t 0 , T [. Les param` etres d’entr´ ee sont : le vecteur colonne a qui contient