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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Le but est de la transformer en une ´ equation diff´ erentielle ordinaire au moyen
d’une fonction F , appel´ ee fonction g´ en´ eratrice de l’´ equation (10.38). F d´ epend
d’une variable r´ eelle t et on l’obtient ainsi : on ´ ecrit le d´ eveloppement en s´ erie
enti` ere de F en t = 0 sous la forme
F (t) =
∞
n=0
γ n u n t
n .
(10.39)
Les coefficients {γ n } sont inconnus et doivent ˆ etre d´ etermin´ es de mani` ere ` a ce
que
k
j=0
c j F
(k−j) (t) =
∞
n=0
⎡
⎣ u n+k +
k
j=1
α k−j (n)u n+k−j
⎤
⎦ t
n ,
(10.40)
o` u les c j sont des constantes inconnues ne d´ ependant pas de n. Noter que
d’apr` es (10.39) on obtient l’´ equation diff´ erentielle ordinaire
k
j=0
c j F
(k−j) (t) = 0
qu’on compl` ete avec les conditions initiales F
(j) (0) = γ j u j pour j = 0, . . . , k −
1. Une fois qu’on dispose de F , il est simple d’obtenir u n ` a l’aide de la d´ efinition
de F .
Exemple 10.6 Consid´ erons l’´ equation aux diff´ erences
(n + 2)(n + 1)un+2 − 2(n + 1)un+1 − 3un = 0, n = 0, 1, . . .
(10.41)
avec les conditions initiales u0 = u1 = 2 et cherchons une fonction g´ en´ eratrice de la
forme (10.39). En d´ erivant la s´ erie terme `
a terme, on a
F
(t) =
∞
n=0
γnnunt
n−1 , F
(t) =
∞
n=0
γnn(n − 1)unt
n−2 ,
d’o` u, apr` es un peu d’alg` ebre,
F
(t) =
∞
n=0
γnnunt
n−1 =
∞
n=0
γn+1(n + 1)un+1t
n ,
F
(t) =
∞
n=0
γnn(n − 1)unt
n−2 =
∞
n=0
γn+2(n + 2)(n + 1)un+2t
n .
Ainsi, (10.40) s’´ ecrit
∞
n=0
(n + 1)(n + 2)un+2t
n − 2
∞
n=0
(n + 1)un+1t
n − 3
∞
n=0
unt
n
= c0
∞
n=0
γn+2(n + 2)(n + 1)un+2t
n + c1
∞
n=0
γn+1(n + 1)un+1t
n + c2
∞
n=0
γnunt
n .
(10.42)