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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Cette derni` ere assertion n’est plus valable si Π admet des racines de multiplicit´ e strictement sup´ erieure ` a 1. Si, pour un certain j, la racine r j est de
multiplicit´ e m ≥ 2, il suffit de remplacer la solution fondamentale correspondante
r
n
j , n = 0, 1, . . .
par les m suites
r
n
j , n = 0, 1, . . .
,
nr
n
j , n = 0, 1, . . .
, . . . ,
n
m−1 r
n
j , n = 0, 1, . . .
,
afin d’obtenir un syst` eme de solutions fondamentales qui engendrent toutes
les solutions de (10.29).
Plus g´ en´ eralement, en supposant que r 0 , . . . , r k sont les racines distinctes de Π
de multiplicit´ es respectivement ´ egales ` a m 0 , . . ., m k , on peut ´ ecrire la solution
de (10.29) sous la forme
u n =
k
j=0
mj −1
s=0
γ sj n
s
r
n
j ,
n= 0, 1, . . .
(10.33)
Noter que mˆ eme si certaines racines sont complexes conjugu´ ees, on peut toujours obtenir une solution r´ eelle (voir Exercice 3).
Exemple 10.3 Pour l’´ equation aux diff´ erences un+2 − un = 0, on a Π(r) = r
2 − 1,
d’o` u r0 = −1 et r1 = 1. La solution est donc donn´ ee par un = γ00(−1)
n + γ01. Si
on se donne en plus les conditions initiales u0 et u1, on trouve γ00 = (u0 − u1)/2,
γ01 = (u0 + u1)/2.
•
Exemple 10.4 Pour l’´ equation aux diff´ erences un+3 − 2un+2 − 7un+1 − 4un = 0,
le polynˆ ome caract´ eristique est Π(r) = r
3 − 2r
2 − 7r − 4. Ses racines sont r0 = −1
(multiplicit´ e 2), r1 = 4 et la solution est un = (γ00+nγ10)(−1)
n +γ014
n . En imposant
les conditions initiales, on peut calculer les coefficients inconnus en r´ esolvant le
syst` eme lin´ eaire suivant
⎧
⎨
⎩
γ00 + γ01
= u0,
−γ00 − γ10 + 4γ01 = u1,
γ00 + 2γ10 + 16γ01 = u2,
ce qui donne γ00 = (24u0 − 2u1 − u2)/25, γ10 = (u2 − 3u1 − 4u0)/5 et γ01 =
(2u1 + u0 + u2)/25.
•
L’expression (10.33) n’est pas tr` es pratique car elle ne met pas en ´ evidence la d´ ependance de u n par rapport aux k conditions initiales. On obtient une repr´ esentation plus commode en introduisant un nouvel ensemble
ψ
(n)
j , n = 0, 1, . . .
de solutions fondamentales satisfaisant
ψ
(i)
j = δ ij , i,j = 0, 1, . . ., k − 1.
(10.34)
La solution de (10.29) correspondant aux donn´ ees initiales u 0 , . . . , u k−1 est
u n =
k−1
j=0
u j ψ
(n)
j ,
n= 0, 1, . . .
(10.35)
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Cette derni` ere assertion n’est plus valable si Π admet des racines de multiplicit´ e strictement sup´ erieure ` a 1. Si, pour un certain j, la racine r j est de
multiplicit´ e m ≥ 2, il suffit de remplacer la solution fondamentale correspondante
r
n
j , n = 0, 1, . . .
par les m suites
r
n
j , n = 0, 1, . . .
,
nr
n
j , n = 0, 1, . . .
, . . . ,
n
m−1 r
n
j , n = 0, 1, . . .
,
afin d’obtenir un syst` eme de solutions fondamentales qui engendrent toutes
les solutions de (10.29).
Plus g´ en´ eralement, en supposant que r 0 , . . . , r k sont les racines distinctes de Π
de multiplicit´ es respectivement ´ egales ` a m 0 , . . ., m k , on peut ´ ecrire la solution
de (10.29) sous la forme
u n =
k
j=0
mj −1
s=0
γ sj n
s
r
n
j ,
n= 0, 1, . . .
(10.33)
Noter que mˆ eme si certaines racines sont complexes conjugu´ ees, on peut toujours obtenir une solution r´ eelle (voir Exercice 3).
Exemple 10.3 Pour l’´ equation aux diff´ erences un+2 − un = 0, on a Π(r) = r
2 − 1,
d’o` u r0 = −1 et r1 = 1. La solution est donc donn´ ee par un = γ00(−1)
n + γ01. Si
on se donne en plus les conditions initiales u0 et u1, on trouve γ00 = (u0 − u1)/2,
γ01 = (u0 + u1)/2.
•
Exemple 10.4 Pour l’´ equation aux diff´ erences un+3 − 2un+2 − 7un+1 − 4un = 0,
le polynˆ ome caract´ eristique est Π(r) = r
3 − 2r
2 − 7r − 4. Ses racines sont r0 = −1
(multiplicit´ e 2), r1 = 4 et la solution est un = (γ00+nγ10)(−1)
n +γ014
n . En imposant
les conditions initiales, on peut calculer les coefficients inconnus en r´ esolvant le
syst` eme lin´ eaire suivant
⎧
⎨
⎩
γ00 + γ01
= u0,
−γ00 − γ10 + 4γ01 = u1,
γ00 + 2γ10 + 16γ01 = u2,
ce qui donne γ00 = (24u0 − 2u1 − u2)/25, γ10 = (u2 − 3u1 − 4u0)/5 et γ01 =
(2u1 + u0 + u2)/25.
•
L’expression (10.33) n’est pas tr` es pratique car elle ne met pas en ´ evidence la d´ ependance de u n par rapport aux k conditions initiales. On obtient une repr´ esentation plus commode en introduisant un nouvel ensemble
ψ
(n)
j , n = 0, 1, . . .
de solutions fondamentales satisfaisant
ψ
(i)
j = δ ij , i,j = 0, 1, . . ., k − 1.
(10.34)
La solution de (10.29) correspondant aux donn´ ees initiales u 0 , . . . , u k−1 est
u n =
k−1
j=0
u j ψ
(n)
j ,
n= 0, 1, . . .
(10.35)