10.4 Equations aux diff´ erences
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est ´ egal ` a z´ ero, l’´ equation est dite homog` ene, et si les α j sont ind´ ependants de
n, l’´ equation est dite ` a coefficients constants.
On rencontre par exemple des ´ equations aux diff´ erences lors de la discr´ etisation des ´ equations diff´ erentielles ordinaires. Toutes les m´ ethodes num´ eriques
examin´ ees jusqu’` a pr´ esent d´ ebouchent en effet toujours sur des ´ equations du
type (10.28). Plus g´ en´ eralement, on rencontre les ´ equations (10.28) quand on
d´ efinit des quantit´ es par des relations de r´ ecurrence lin´ eaires. Pour plus de
d´ etails sur le sujet, voir les Chapitres 2 et 5 de [BO78] et le Chapitre 6 de
[Gau97].
On appelle solution de l’´ equation (10.28) toute suite de valeurs {u n , n =
0, 1, . . .} satisfaisant (10.28). Etant donn´ e k valeurs initiales u 0 , . . . , u k−1 , il
est toujours possible de construire une solution de (10.28) en calculant de
mani` ere s´ equentielle
u n+k = ϕ n+k − (α k−1 u n+k−1 + . . . + α 0 u n ), n = 0, 1, . . .
Mais notre but est de trouver une expression de la solution u n+k qui ne d´ epende que des coefficients et des valeurs initiales.
Nous commen¸ cons par consid´ erer le cas homog` ene ` a coefficients constants,
u n+k + α k−1 u n+k−1 + . . . + α 0 u n = 0, n = 0, 1, . . .
(10.29)
On associe ` a (10.29) le polynˆ ome caract´ eristique Π ∈ P k d´ efini par
Π(r) = r
k + α k−1 r
k−1 + . . . + α 1 r + α 0 .
(10.30)
Si on note ses racines r j , j = 0, . . . , k − 1, toute suite de la forme
r
n
j , n = 0, 1, . . .
pour j = 0, . . . , k − 1
(10.31)
est une solution de (10.29), car
r
n+k
j
+ α k−1 r
n+k−1
j
+ . . . + α 0 r
n
j
= r
n
j
r
k
j + α k−1 r
k−1
j
+ . . . + α 0
= r
n
j Π(r j ) = 0.
On dit que les k suites d´ efinies en (10.31) sont les solutions fondamentales de
l’´ equation homog` ene (10.29). Toute suite de la forme
u n = γ 0 r
n
0 + γ 1 r
n
1 + . . . + γ k−1 r
n
k−1 ,
n= 0, 1, . . .
(10.32)
est aussi une solution de (10.29) (lin´ earit´ e de l’´ equation).
On peut d´ eterminer les coefficients γ 0 , . . . , γ k−1 en imposant les k conditions
initiales u 0 , . . . , u k−1 . De plus, on peut montrer que si toutes les racines de Π
sont simples, alors toutes les solutions de (10.29) peuvent ˆ etre mises sous la
forme (10.32).
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est ´ egal ` a z´ ero, l’´ equation est dite homog` ene, et si les α j sont ind´ ependants de
n, l’´ equation est dite ` a coefficients constants.
On rencontre par exemple des ´ equations aux diff´ erences lors de la discr´ etisation des ´ equations diff´ erentielles ordinaires. Toutes les m´ ethodes num´ eriques
examin´ ees jusqu’` a pr´ esent d´ ebouchent en effet toujours sur des ´ equations du
type (10.28). Plus g´ en´ eralement, on rencontre les ´ equations (10.28) quand on
d´ efinit des quantit´ es par des relations de r´ ecurrence lin´ eaires. Pour plus de
d´ etails sur le sujet, voir les Chapitres 2 et 5 de [BO78] et le Chapitre 6 de
[Gau97].
On appelle solution de l’´ equation (10.28) toute suite de valeurs {u n , n =
0, 1, . . .} satisfaisant (10.28). Etant donn´ e k valeurs initiales u 0 , . . . , u k−1 , il
est toujours possible de construire une solution de (10.28) en calculant de
mani` ere s´ equentielle
u n+k = ϕ n+k − (α k−1 u n+k−1 + . . . + α 0 u n ), n = 0, 1, . . .
Mais notre but est de trouver une expression de la solution u n+k qui ne d´ epende que des coefficients et des valeurs initiales.
Nous commen¸ cons par consid´ erer le cas homog` ene ` a coefficients constants,
u n+k + α k−1 u n+k−1 + . . . + α 0 u n = 0, n = 0, 1, . . .
(10.29)
On associe ` a (10.29) le polynˆ ome caract´ eristique Π ∈ P k d´ efini par
Π(r) = r
k + α k−1 r
k−1 + . . . + α 1 r + α 0 .
(10.30)
Si on note ses racines r j , j = 0, . . . , k − 1, toute suite de la forme
r
n
j , n = 0, 1, . . .
pour j = 0, . . . , k − 1
(10.31)
est une solution de (10.29), car
r
n+k
j
+ α k−1 r
n+k−1
j
+ . . . + α 0 r
n
j
= r
n
j
r
k
j + α k−1 r
k−1
j
+ . . . + α 0
= r
n
j Π(r j ) = 0.
On dit que les k suites d´ efinies en (10.31) sont les solutions fondamentales de
l’´ equation homog` ene (10.29). Toute suite de la forme
u n = γ 0 r
n
0 + γ 1 r
n
1 + . . . + γ k−1 r
n
k−1 ,
n= 0, 1, . . .
(10.32)
est aussi une solution de (10.29) (lin´ earit´ e de l’´ equation).
On peut d´ eterminer les coefficients γ 0 , . . . , γ k−1 en imposant les k conditions
initiales u 0 , . . . , u k−1 . De plus, on peut montrer que si toutes les racines de Π
sont simples, alors toutes les solutions de (10.29) peuvent ˆ etre mises sous la
forme (10.32).