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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Exemple 10.2 La solution num´ erique donn´ ee par la m´ ethode d’Euler r´ etrograde
dans le cas de l’Exemple 10.1 ne pr´ esente pas d’oscillation, quelle que soit la valeur
de h. La mˆ eme m´ ethode appliqu´ ee au probl` eme y
(t) = 5y(t) pour t > 0 et avec
y(0) = 1, fournit une solution qui tend vers z´ ero en d´ ecroissant quand t → ∞ pour
tout h > 2/5, alors que la solution exacte du probl` eme de Cauchy tend vers l’infini.
•
3. M´ ethode du trap` eze (ou de Crank-Nicolson) : on obtient
u n =
1 +
1
2
λh
/
1 −
1
2
λh
n
,
n≥ 0,
la propri´ et´ e (10.25) est donc satisfaite pour tout hλ ∈ C
− .
4. M´ ethode de Heun : en appliquant (10.10) au probl` eme (10.24) et en
proc´ edant par r´ ecurrence sur n, on trouve
u n =
1 + hλ +
(hλ)
2
2
n
,
n≥ 0.
Comme le montre la Figure 10.3, la r´ egion de stabilit´ e absolue de la m´ ethode de
Heun est plus grande que celle de la m´ ethode d’Euler progressive. N´ eanmoins,
leurs restrictions `
a l’axe r´ eel co¨ ıncident.
On dit qu’une m´ ethode est A-stable si A ∩ C
− = C
− , c’est-` a-dire si pour
Re(λ) < 0, la condition (10.25) est satisfaite pour toute valeur de h.
Les m´ ethodes d’Euler r´ etrograde et de Crank-Nicolson sont A-stables, tandis que les m´ ethodes d’Euler progressive et de Heun sont conditionnellement
stables.
Remarque 10.2 Remarquer que (quand Re(λ) ≤ 0 dans (10.24)) les m´ ethodes implicites `
a un pas examin´ ees jusqu’` a pr´ esent sont inconditionnellement absolument stables, alors que les sch´ emas explicites sont conditionnellement absolument stables. Ceci n’est cependant pas une r` egle g´ en´ erale : il existe
des sch´ emas implicites instables ou seulement conditionnellement stables. En
revanche, il n’y a pas de sch´ ema explicite inconditionnellement absolument
stable [Wid67].
10.4 Equations aux diff´ erences
Soit un entier k ≥ 1, nous appellerons une ´ equation de la forme
u n+k + α k−1 u n+k−1 + . . . + α 0 u n = ϕ n+k , n = 0, 1, . . .
(10.28)
´ equation aux diff´ erences lin´ eaire d’ordre k. Les coefficients α 0 = 0, α 1 , . . .,
α k−1 peuvent d´ ependre de n ou pas. Si, pour tout n, le membre de droite ϕ n+k
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
Exemple 10.2 La solution num´ erique donn´ ee par la m´ ethode d’Euler r´ etrograde
dans le cas de l’Exemple 10.1 ne pr´ esente pas d’oscillation, quelle que soit la valeur
de h. La mˆ eme m´ ethode appliqu´ ee au probl` eme y
(t) = 5y(t) pour t > 0 et avec
y(0) = 1, fournit une solution qui tend vers z´ ero en d´ ecroissant quand t → ∞ pour
tout h > 2/5, alors que la solution exacte du probl` eme de Cauchy tend vers l’infini.
•
3. M´ ethode du trap` eze (ou de Crank-Nicolson) : on obtient
u n =
1 +
1
2
λh
/
1 −
1
2
λh
n
,
n≥ 0,
la propri´ et´ e (10.25) est donc satisfaite pour tout hλ ∈ C
− .
4. M´ ethode de Heun : en appliquant (10.10) au probl` eme (10.24) et en
proc´ edant par r´ ecurrence sur n, on trouve
u n =
1 + hλ +
(hλ)
2
2
n
,
n≥ 0.
Comme le montre la Figure 10.3, la r´ egion de stabilit´ e absolue de la m´ ethode de
Heun est plus grande que celle de la m´ ethode d’Euler progressive. N´ eanmoins,
leurs restrictions `
a l’axe r´ eel co¨ ıncident.
On dit qu’une m´ ethode est A-stable si A ∩ C
− = C
− , c’est-` a-dire si pour
Re(λ) < 0, la condition (10.25) est satisfaite pour toute valeur de h.
Les m´ ethodes d’Euler r´ etrograde et de Crank-Nicolson sont A-stables, tandis que les m´ ethodes d’Euler progressive et de Heun sont conditionnellement
stables.
Remarque 10.2 Remarquer que (quand Re(λ) ≤ 0 dans (10.24)) les m´ ethodes implicites `
a un pas examin´ ees jusqu’` a pr´ esent sont inconditionnellement absolument stables, alors que les sch´ emas explicites sont conditionnellement absolument stables. Ceci n’est cependant pas une r` egle g´ en´ erale : il existe
des sch´ emas implicites instables ou seulement conditionnellement stables. En
revanche, il n’y a pas de sch´ ema explicite inconditionnellement absolument
stable [Wid67].
10.4 Equations aux diff´ erences
Soit un entier k ≥ 1, nous appellerons une ´ equation de la forme
u n+k + α k−1 u n+k−1 + . . . + α 0 u n = ϕ n+k , n = 0, 1, . . .
(10.28)
´ equation aux diff´ erences lin´ eaire d’ordre k. Les coefficients α 0 = 0, α 1 , . . .,
α k−1 peuvent d´ ependre de n ou pas. Si, pour tout n, le membre de droite ϕ n+k