10.3 Analyse des m´ ethodes ` a un pas
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Fig. 10.2. A gauche : solutions calcul´ ees pour h = 0.41 > 2/5 (trait discontinu)
et h = 2/5 (trait plein). Remarquer que, dans le cas limite h = 2/5, les oscillations
n’´ evoluent pas quand t augmente. A droite : solutions correspondant `
a h = 0.39
(trait plein) et h = 0.15 (trait discontinu)
2. M´ ethode d’Euler r´ etrograde : en proc´ edant comme pr´ ec´ edemment, on
obtient cette fois
u n =
1
(1 − hλ) n ,
n≥ 0.
On a la propri´ et´ e de stabilit´ e absolue (10.25) pour toute valeur hλ qui
n’appartient pas au disque unit´ e centr´ e en (1, 0) (voir Figure 10.3).
FE
H
Re
BE
−1
1
Im
1.75
−1.75
Fig. 10.3. R´ egions de stabilit´ e absolue pour les m´ ethodes d’Euler progressive (not´ ee
FE pour forward Euler), d’Euler r´ etrograde (not´ ee BE pour backward Euler et de
Heun (not´ ee H). La r´ egion de stabilit´ e absolue de la m´ ethode d’Euler r´ etrograde se
situe `
a l’ext´ erieur du disque unit´ e centr´ e en (1, 0) (zone gris´ ee)