380
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
D´ efinition 10.6 Une m´ ethode num´ erique pour l’approximation de (10.24)
est absolument stable si
|u n | −→ 0 quand t n −→ +∞.
(10.25)
La r´ egion de stabilit´ e absolue de la m´ ethode num´ erique est le sous-ensemble
du plan complexe
A = {z = hλ ∈ C t.q. (10.25) est v´ erifi´ ee } .
(10.26)
Ainsi, A est l’ensemble des valeurs prises par le produit hλ pour lesquelles la
m´ ethode num´ erique donne des solutions qui tendent vers z´ ero quand t n tend
vers l’infini. Cette d´ efinition a bien un sens car u n est une fonction de hλ.
Remarque 10.1 Consid´ erons le probl` eme de Cauchy g´ en´ eral (10.1) et supposons qu’il existe deux constantes strictement positives µ min et µ max telles
que
−µ max <
∂f
∂y
(t, y(t)) < −µ min ∀t ∈ I.
Alors, −µ max est un bon candidat pour jouer le rˆ ole de λ dans l’analyse de
stabilit´ e ci-dessus (pour plus de d´ etails, voir [QS06]).
V´ erifions si les m´ ethodes ` a un pas introduites pr´ ec´ edemment sont absolument
stables.
1. M´ ethode d’Euler progressive : le sch´ ema (10.7) appliqu´ e au probl` eme
(10.24) donne u n+1 = u n + hλu n pour n ≥ 0, avec u 0 = 1. En proc´ edant par
r´ ecurrence sur n, on a
u n = (1 + hλ)
n ,
n≥ 0.
Ainsi, la condition (10.25) est satisfaite si et seulement si |1 + hλ| < 1, c’est` a-dire si hλ se situe ` a l’int´ erieur du disque unit´ e centr´ e en (−1, 0) (voir Figure
10.3), ce qui revient `
a
hλ ∈ C
−
et 0 < h < −
2Re(λ)
|λ| 2 ,
(10.27)
o` u
C
− = {z ∈ C : Re(z) < 0} .
Exemple 10.1 Pour le probl` eme de Cauchy y
(x) = −5y(x) avec x > 0 et y(0) = 1,
la condition (10.27) implique 0 < h < 2/5. La Figure 10.2 montre, `
a gauche, le
comportement des solutions calcul´ ees avec deux valeurs de h qui ne remplissent
pas cette condition, et, `
a droite, les solutions obtenues avec deux valeurs de h qui
la satisfont. Remarquer que dans ce second cas les oscillations, quand elles sont
pr´ esentent, s’att´ enuent quand t croˆ ıt.
•
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
D´ efinition 10.6 Une m´ ethode num´ erique pour l’approximation de (10.24)
est absolument stable si
|u n | −→ 0 quand t n −→ +∞.
(10.25)
La r´ egion de stabilit´ e absolue de la m´ ethode num´ erique est le sous-ensemble
du plan complexe
A = {z = hλ ∈ C t.q. (10.25) est v´ erifi´ ee } .
(10.26)
Ainsi, A est l’ensemble des valeurs prises par le produit hλ pour lesquelles la
m´ ethode num´ erique donne des solutions qui tendent vers z´ ero quand t n tend
vers l’infini. Cette d´ efinition a bien un sens car u n est une fonction de hλ.
Remarque 10.1 Consid´ erons le probl` eme de Cauchy g´ en´ eral (10.1) et supposons qu’il existe deux constantes strictement positives µ min et µ max telles
que
−µ max <
∂f
∂y
(t, y(t)) < −µ min ∀t ∈ I.
Alors, −µ max est un bon candidat pour jouer le rˆ ole de λ dans l’analyse de
stabilit´ e ci-dessus (pour plus de d´ etails, voir [QS06]).
V´ erifions si les m´ ethodes ` a un pas introduites pr´ ec´ edemment sont absolument
stables.
1. M´ ethode d’Euler progressive : le sch´ ema (10.7) appliqu´ e au probl` eme
(10.24) donne u n+1 = u n + hλu n pour n ≥ 0, avec u 0 = 1. En proc´ edant par
r´ ecurrence sur n, on a
u n = (1 + hλ)
n ,
n≥ 0.
Ainsi, la condition (10.25) est satisfaite si et seulement si |1 + hλ| < 1, c’est` a-dire si hλ se situe ` a l’int´ erieur du disque unit´ e centr´ e en (−1, 0) (voir Figure
10.3), ce qui revient `
a
hλ ∈ C
−
et 0 < h < −
2Re(λ)
|λ| 2 ,
(10.27)
o` u
C
− = {z ∈ C : Re(z) < 0} .
Exemple 10.1 Pour le probl` eme de Cauchy y
(x) = −5y(x) avec x > 0 et y(0) = 1,
la condition (10.27) implique 0 < h < 2/5. La Figure 10.2 montre, `
a gauche, le
comportement des solutions calcul´ ees avec deux valeurs de h qui ne remplissent
pas cette condition, et, `
a droite, les solutions obtenues avec deux valeurs de h qui
la satisfont. Remarquer que dans ce second cas les oscillations, quand elles sont
pr´ esentent, s’att´ enuent quand t croˆ ıt.
•