10.3 Analyse des m´ ethodes ` a un pas
379
et donc, τ (h) ≤ (M/2)h, o` u M = max ξ∈I |y
(ξ)|. En conclusion,
|e n+1 | ≤
e
L(tn+1−t0)
− 1
L
M
2
h ∀n ≥ 0,
(10.22)
d’o` u on d´ eduit que l’erreur globale tend vers z´ ero avec le mˆ eme ordre que
l’erreur de troncature locale.
Si on prend en compte les erreurs d’arrondi, on peut ´ ecrire la solution ¯
u n+1
effectivement calcul´ ee par la m´ ethode d’Euler progressive au temps t n+1 sous
la forme
¯
u 0 = y 0 + ζ 0 , ¯
u n+1 = ¯
u n + hf(t n , ¯
u n ) + ζ n+1 ,
(10.23)
o` u ζ j , j ≥ 0, d´ esigne l’erreur d’arrondi.
Le probl` eme (10.23) est un cas particulier de (10.16), dans lequel hδ n+1 et z
(h)
n
sont remplac´ es respectivement par ζ n+1 et ¯
u n . En combinant les Th´ eor` emes
10.1 et 10.2 on obtient, au lieu de (10.22), l’estimation d’erreur suivante
|y n+1 − ¯
u n+1 | ≤ e
L(tn+1 −t0)
|ζ 0 | +
1
L
M
2
h +
ζ
h
,
o` u ζ = max 1≤j≤n+1 |ζ j |. La pr´ esence d’erreurs d’arrondi ne permet donc pas
de conclure que l’erreur tend vers z´ ero quand h → 0 : il existe une valeur
optimale (non nulle) h opt de h qui minimise l’erreur ; pour h < h opt , l’erreur
d’arrondi domine l’erreur de troncature et l’erreur globale augmente.
10.3.3 Stabilit´ e absolue
La propri´ et´ e de stabilit´ e absolue est, d’une certaine mani` ere, la contrepartie
de la z´ ero-stabilit´ e du point de vue des rˆ oles respectifs de h et I. De fa¸ con
heuristique, on dit qu’une m´ ethode num´ erique est absolument stable si, pour
un h fix´ e, u n reste born´ e quand t n → +∞. Une m´ ethode absolument stable
offre donc une garantie sur le comportement asymptotique de u n , alors qu’une
m´ ethode z´ ero-stable assure que, pour une intervalle d’int´ egration fix´ e, u n demeure born´ e quand h → 0.
Consid´ erons le probl` eme de Cauchy lin´ eaire (que nous appellerons dor´ enavant
probl` eme test)
y
(t) = λy(t),
t>0,
y(0) = 1,
(10.24)
avec λ ∈ C, dont la solution est y(t) = e
λt . Remarquer que si Re(λ) < 0 alors
lim
t→+∞
|y(t)| = 0.
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et donc, τ (h) ≤ (M/2)h, o` u M = max ξ∈I |y
(ξ)|. En conclusion,
|e n+1 | ≤
e
L(tn+1−t0)
− 1
L
M
2
h ∀n ≥ 0,
(10.22)
d’o` u on d´ eduit que l’erreur globale tend vers z´ ero avec le mˆ eme ordre que
l’erreur de troncature locale.
Si on prend en compte les erreurs d’arrondi, on peut ´ ecrire la solution ¯
u n+1
effectivement calcul´ ee par la m´ ethode d’Euler progressive au temps t n+1 sous
la forme
¯
u 0 = y 0 + ζ 0 , ¯
u n+1 = ¯
u n + hf(t n , ¯
u n ) + ζ n+1 ,
(10.23)
o` u ζ j , j ≥ 0, d´ esigne l’erreur d’arrondi.
Le probl` eme (10.23) est un cas particulier de (10.16), dans lequel hδ n+1 et z
(h)
n
sont remplac´ es respectivement par ζ n+1 et ¯
u n . En combinant les Th´ eor` emes
10.1 et 10.2 on obtient, au lieu de (10.22), l’estimation d’erreur suivante
|y n+1 − ¯
u n+1 | ≤ e
L(tn+1 −t0)
|ζ 0 | +
1
L
M
2
h +
ζ
h
,
o` u ζ = max 1≤j≤n+1 |ζ j |. La pr´ esence d’erreurs d’arrondi ne permet donc pas
de conclure que l’erreur tend vers z´ ero quand h → 0 : il existe une valeur
optimale (non nulle) h opt de h qui minimise l’erreur ; pour h < h opt , l’erreur
d’arrondi domine l’erreur de troncature et l’erreur globale augmente.
10.3.3 Stabilit´ e absolue
La propri´ et´ e de stabilit´ e absolue est, d’une certaine mani` ere, la contrepartie
de la z´ ero-stabilit´ e du point de vue des rˆ oles respectifs de h et I. De fa¸ con
heuristique, on dit qu’une m´ ethode num´ erique est absolument stable si, pour
un h fix´ e, u n reste born´ e quand t n → +∞. Une m´ ethode absolument stable
offre donc une garantie sur le comportement asymptotique de u n , alors qu’une
m´ ethode z´ ero-stable assure que, pour une intervalle d’int´ egration fix´ e, u n demeure born´ e quand h → 0.
Consid´ erons le probl` eme de Cauchy lin´ eaire (que nous appellerons dor´ enavant
probl` eme test)
y
(t) = λy(t),
t>0,
y(0) = 1,
(10.24)
avec λ ∈ C, dont la solution est y(t) = e
λt . Remarquer que si Re(λ) < 0 alors
lim
t→+∞
|y(t)| = 0.