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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
la premi` ere partie de la preuve, nous supposerons que toutes les op´ erations
sont effectu´ ees en arithm´ etique exacte et que u 0 = y 0 .
On note e n+1 = y n+1 − u n+1 l’erreur au noeud t n+1 pour n = 0, 1, . . ..
On a
e n+1 = (y n+1 − u
∗
n+1 ) + (u
∗
n+1 − u n+1 ),
(10.21)
o` u u
∗
n+1 = y n + hf(t n , y n ) est la solution obtenue apr` es un pas de la m´ ethode
d’Euler progressive en partant de la donn´ ee initiale y n (voir Figure 10.1). Le
premier terme entre parenth` eses dans (10.21) prend en compte l’erreur de
consistance, le second l’accumulation de ces erreurs. On a alors
y n+1 − u
∗
n+1 = hτ n+1 (h), u
∗
n+1 − u n+1 = e n + h [f(t n , y n ) − f(t n , u n )] .
y(x)
y n
u n
t n
t n+1
u n+1
u
∗
n+1
y n+1
hτ n+1
e n+1
Fig. 10.1. Interpr´ etation g´ eom´ etrique de l’erreur de troncature locale et de l’erreur
au noeud tn+1 pour la m´ ethode d’Euler progressive
Par cons´ equent,
|e n+1 | ≤ h|τ n+1 (h)| + |e n |
+h|f(t n , y n ) − f(t n , u n )| ≤ hτ (h) + (1 + hL)|e n |,
L ´ etant la constante de Lipschitz de f. Par r´ ecurrence sur n, on trouve
|e n+1 | ≤ [1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL)
n ] hτ (h)
=
(1 + hL)
n+1
− 1
L
τ (h) ≤
e
L(tn+1−t0)
− 1
L
τ (h).
Pour cette derni` ere in´ egalit´ e, on a utilis´ e 1 +hL ≤ e
hL et (n + 1)h = t n+1 − t 0 .
De plus, si y ∈ C
2 (I), l’erreur de troncature locale pour la m´ ethode d’Euler
progressive est donn´ ee par (voir Section 9.10.1)
τ n+1 (h) =
h
2
y
(ξ), ξ ∈]t n , t n+1 [,