10.3 Analyse des m´ ethodes ` a un pas
377
Pour la preuve voir p. ex. [QV94], Lemme 1.4.2. Dans le cas particulier de
la m´ ethode d’Euler, on peut v´ erifier directement la z´ ero-stabilit´ e en utilisant
le fait que f est lipschitzienne (voir la fin de la Section 10.3.2). Dans le cas
des m´ ethodes multi-pas, l’analyse conduira `
a la v´ erification d’une propri´ et´ e
purement alg´ ebrique appel´ ee condition de racine (voir Section 10.6.3).
10.3.2 Analyse de la convergence
D´ efinition 10.5 Une m´ ethode est dite convergente si
∀n = 0, . . ., N h ,
|u n − y n | ≤ C(h),
o` u C(h) est un infiniment petit en h. Dans ce cas, on dit que la m´ ethode est
convergente avec un ordre p si ∃C > 0 tel que C(h) = Ch
p .
On peut montrer le th´ eor` eme suivant
Th´ eor` eme 10.2 (convergence) Sous les mˆ emes hypoth` eses qu’au Th´ eor` eme 10.1, on a
|y n − u n | ≤ (|y 0 − u 0 | + nhτ (h)) e
nhΛ ,
1 ≤ n ≤ N h .
(10.20)
Par cons´ equent, si l’hypoth` ese de consistance (10.13) est v´ erifi´ ee et si |y 0 −
u 0 | → 0 quand h → 0, alors la m´ ethode est convergente. De plus, si |y 0 −u 0 | =
O(h
p ) et si la m´ ethode est d’ordre p, alors elle converge avec un ordre p.
D´ emonstration. En posant wj = yj − uj , en retranchant (10.11) de (10.12) et
en proc´ edant comme dans la preuve du th´ eor` eme pr´ ec´ edent, on obtient l’in´ egalit´ e
(10.19) avec
w0 = y0 − u0 et δj+1 = τj+1(h).
L’estimation (10.20) est alors obtenue en appliquant `
a nouveau le lemme de Gronwall
discret. Puisque nh ≤ T et τ (h) = O(h
p ), on conclut que |yn − un| ≤ Ch
p o` u C
d´ epend de T et de Λ, mais pas de h.
3
Une m´ ethode consistante et z´ ero-stable est donc convergente. Cette propri´ et´ e est connue sous le nom de th´ eor` eme d’´ equivalence ou th´ eor` eme de LaxRichtmyer (la r´ eciproque – “une m´ ethode convergente est z´ ero-stable” – est
aussi vraie). Ce th´ eor` eme, qui est d´ emontr´ e dans [IK66], a d´ ej` a ´ et´ e ´ evoqu´ e ` a la
Section 2.2.1. C’est un r´ esultat fondamental dans l’analyse des m´ ethodes num´ eriques pour les EDO (voir [Dah56] ou [Hen62] pour les m´ ethodes multi-pas
lin´ eaires, [But66], [MNS74] pour des classes de m´ ethodes plus larges). Nous
le rencontrerons `
a nouveau `
a la Section 10.5 dans l’analyse des m´ ethodes
multi-pas.
Nous effectuons maintenant en d´ etail l’analyse de convergence de la m´ ethode d’Euler progressive sans recourir au lemme de Gronwall discret. Dans
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Pour la preuve voir p. ex. [QV94], Lemme 1.4.2. Dans le cas particulier de
la m´ ethode d’Euler, on peut v´ erifier directement la z´ ero-stabilit´ e en utilisant
le fait que f est lipschitzienne (voir la fin de la Section 10.3.2). Dans le cas
des m´ ethodes multi-pas, l’analyse conduira `
a la v´ erification d’une propri´ et´ e
purement alg´ ebrique appel´ ee condition de racine (voir Section 10.6.3).
10.3.2 Analyse de la convergence
D´ efinition 10.5 Une m´ ethode est dite convergente si
∀n = 0, . . ., N h ,
|u n − y n | ≤ C(h),
o` u C(h) est un infiniment petit en h. Dans ce cas, on dit que la m´ ethode est
convergente avec un ordre p si ∃C > 0 tel que C(h) = Ch
p .
On peut montrer le th´ eor` eme suivant
Th´ eor` eme 10.2 (convergence) Sous les mˆ emes hypoth` eses qu’au Th´ eor` eme 10.1, on a
|y n − u n | ≤ (|y 0 − u 0 | + nhτ (h)) e
nhΛ ,
1 ≤ n ≤ N h .
(10.20)
Par cons´ equent, si l’hypoth` ese de consistance (10.13) est v´ erifi´ ee et si |y 0 −
u 0 | → 0 quand h → 0, alors la m´ ethode est convergente. De plus, si |y 0 −u 0 | =
O(h
p ) et si la m´ ethode est d’ordre p, alors elle converge avec un ordre p.
D´ emonstration. En posant wj = yj − uj , en retranchant (10.11) de (10.12) et
en proc´ edant comme dans la preuve du th´ eor` eme pr´ ec´ edent, on obtient l’in´ egalit´ e
(10.19) avec
w0 = y0 − u0 et δj+1 = τj+1(h).
L’estimation (10.20) est alors obtenue en appliquant `
a nouveau le lemme de Gronwall
discret. Puisque nh ≤ T et τ (h) = O(h
p ), on conclut que |yn − un| ≤ Ch
p o` u C
d´ epend de T et de Λ, mais pas de h.
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Une m´ ethode consistante et z´ ero-stable est donc convergente. Cette propri´ et´ e est connue sous le nom de th´ eor` eme d’´ equivalence ou th´ eor` eme de LaxRichtmyer (la r´ eciproque – “une m´ ethode convergente est z´ ero-stable” – est
aussi vraie). Ce th´ eor` eme, qui est d´ emontr´ e dans [IK66], a d´ ej` a ´ et´ e ´ evoqu´ e ` a la
Section 2.2.1. C’est un r´ esultat fondamental dans l’analyse des m´ ethodes num´ eriques pour les EDO (voir [Dah56] ou [Hen62] pour les m´ ethodes multi-pas
lin´ eaires, [But66], [MNS74] pour des classes de m´ ethodes plus larges). Nous
le rencontrerons `
a nouveau `
a la Section 10.5 dans l’analyse des m´ ethodes
multi-pas.
Nous effectuons maintenant en d´ etail l’analyse de convergence de la m´ ethode d’Euler progressive sans recourir au lemme de Gronwall discret. Dans