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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
suppose que la fonction d’incr´ ement Φ est lipschitzienne par rapport `
a sa seconde variable, avec une constante de Lipschitz Λ ind´ ependante de h et des
noeuds t j ∈ [t 0 , t 0 + T ], autrement dit
∃h 0 > 0, ∃Λ > 0 : ∀h ∈ (0, h 0 ]
|Φ(t n , u
(h)
n , f(t n , u
(h)
n ); h) − Φ(t n , z
(h)
n , f(t n , z
(h)
n ); h)|
≤ Λ|u
(h)
n − z
(h)
n |, 0 ≤ n ≤ N h .
(10.18)
Alors, la m´ ethode (10.11) est z´ ero-stable.
D´ emonstration. En posant w
(h)
j
= z
(h)
j − u
(h)
j , et en retranchant (10.17) `
a (10.16)
on a, pour j = 0, . . . , Nh − 1,
w
(h)
j+1 = w
(h)
j
+ h
Φ(tj, z
(h)
j , f(tj, z
(h)
j ); h) − Φ(tj, u
(h)
j , f(tj, u
(h)
j ); h)
+ hδj+1.
En sommant sur j on obtient, pour n ≥ 1,
w
(h)
n = w
(h)
0
+h
n−1
j=0
δj+1
+h
n−1
j=0
Φ(tj, z
(h)
j , f(tj, z
(h)
j ); h) − Φ(tj, u
(h)
j , f(tj, u
(h)
j ); h)
,
d’o` u, avec (10.18)
|w
(h)
n | ≤ |w0| + h
n−1
j=0
|δj+1| + hΛ
n−1
j=0
|w
(h)
j |,
1 ≤ n ≤ Nh.
(10.19)
En appliquant le lemme de Gronwall discret rappel´ e ci-dessous, on a finalement
|w
(h)
n | ≤ (1 + hn) εe
nhΛ ,
1 ≤ n ≤ Nh,
d’o` u on d´ eduit (10.15) en remarquant que hn ≤ T et en posant C = (1 + T ) e
ΛT . 3
Noter que la z´ ero-stabilit´ e implique que la solution est born´ ee quand f est
lin´ eaire par rapport `
a y.
Lemme 10.2 (de Gronwall discret) Soit k n une suite de r´ eels positifs et
ϕ n une suite telle que
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
ϕ 0 ≤ g 0 ,
ϕ n ≤ g 0 +
n−1
s=0
p s +
n−1
s=0
k s φ s ,
n≥ 1.
Si g 0 ≥ 0 et p n ≥ 0 pour tout n ≥ 0, alors
ϕ n ≤
g 0 +
n−1
s=0
p s
exp
n−1
s=0
k s
,
n≥ 1.