10.3 Analyse des m´ ethodes ` a un pas
375
10.3.1 La z´ ero-stabilit´ e
Nous allons d´ efinir l’analogue de la stabilit´ e au sens de Liapunov (10.5) pour
les sch´ emas num´ eriques : si la relation (10.5) est satisfaite avec une constante
C ind´ ependante de h, nous dirons que le probl` eme num´ erique est z´ ero-stable.
Plus pr´ ecis´ ement :
D´ efinition 10.4 (z´ ero-stabilit´ e des m´ ethodes `
a un pas) La m´ ethode
num´ erique (10.11) pour l’approximation du probl` eme (10.1) est z´ ero-stable
si ∃h 0 > 0, ∃C > 0 tels que ∀h ∈]0, h 0 ], ∀ε > 0 assez petit, si |δ n | ≤ ε,
0 ≤ n ≤ N h , alors
|z
(h)
n − u
(h)
n | ≤ Cε,
0 ≤ n ≤ N h ,
(10.15)
o` u z
(h)
n , u
(h)
n sont respectivement les solutions des probl` emes
⎧
⎨
⎩
z
(h)
n+1 = z
(h)
n + h
Φ(t n , z
(h)
n , f(t n , z
(h)
n ); h) + δ n+1
,
z
(h)
0
= y 0 + δ 0 ,
(10.16)
⎧
⎨
⎩
u
(h)
n+1 = u
(h)
n + hΦ(t n , u
(h)
n , f(t n , u
(h)
n ); h),
u
(h)
0 = y 0 ,
(10.17)
pour 0 ≤ n ≤ N h − 1.
Les constantes C et h 0 peuvent d´ ependre des donn´ ees du probl` eme t 0 , T , y 0
et f.
La z´ ero-stabilit´ e requiert donc que, sur un intervalle born´ e, la condition (10.15)
soit v´ erifi´ ee pour toute valeur h ≤ h 0 . La z´ ero-stabilit´ e implique donc que, sur
un intervalle born´ e, (10.15) est vraie. Cette propri´ et´ e concerne en particulier
le comportement de la m´ ethode num´ erique dans le cas limite h → 0, ce qui
justifie le nom de z´ ero-stabilit´ e. Ce type de stabilit´ e est donc une propri´ et´ e
caract´ eristique de la m´ ethode num´ erique elle-mˆ eme, et pas du probl` eme de
Cauchy (dont la stabilit´ e est une cons´ equence du fait que f est uniform´ ement
lipschitzienne). La propri´ et´ e (10.15) assure que la m´ ethode num´ erique est peu
sensible aux petites perturbations des donn´ ees ; elle assure donc la stabilit´ e
au sens de la d´ efinition g´ en´ erale donn´ ee au Chapitre 2.
L’exigence d’avoir une m´ ethode num´ erique stable provient avant tout de la
n´ ecessit´ e de contrˆ oler les (in´ evitables) erreurs introduites par l’arithm´ etique
finie des ordinateurs. En effet, si la m´ ethode num´ erique n’´ etait pas z´ ero-stable,
les erreurs d’arrondi commises sur y 0 et sur le calcul de f(t n , y n ) rendraient
la solution calcul´ ee inutilisable.
Th´ eor` eme 10.1 (z´ ero-stabilit´ e) Consid´ erons la m´ ethode explicite `
a un
pas (10.11) pour la r´ esolution num´ erique du probl` eme de Cauchy (10.1). On
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10.3.1 La z´ ero-stabilit´ e
Nous allons d´ efinir l’analogue de la stabilit´ e au sens de Liapunov (10.5) pour
les sch´ emas num´ eriques : si la relation (10.5) est satisfaite avec une constante
C ind´ ependante de h, nous dirons que le probl` eme num´ erique est z´ ero-stable.
Plus pr´ ecis´ ement :
D´ efinition 10.4 (z´ ero-stabilit´ e des m´ ethodes `
a un pas) La m´ ethode
num´ erique (10.11) pour l’approximation du probl` eme (10.1) est z´ ero-stable
si ∃h 0 > 0, ∃C > 0 tels que ∀h ∈]0, h 0 ], ∀ε > 0 assez petit, si |δ n | ≤ ε,
0 ≤ n ≤ N h , alors
|z
(h)
n − u
(h)
n | ≤ Cε,
0 ≤ n ≤ N h ,
(10.15)
o` u z
(h)
n , u
(h)
n sont respectivement les solutions des probl` emes
⎧
⎨
⎩
z
(h)
n+1 = z
(h)
n + h
Φ(t n , z
(h)
n , f(t n , z
(h)
n ); h) + δ n+1
,
z
(h)
0
= y 0 + δ 0 ,
(10.16)
⎧
⎨
⎩
u
(h)
n+1 = u
(h)
n + hΦ(t n , u
(h)
n , f(t n , u
(h)
n ); h),
u
(h)
0 = y 0 ,
(10.17)
pour 0 ≤ n ≤ N h − 1.
Les constantes C et h 0 peuvent d´ ependre des donn´ ees du probl` eme t 0 , T , y 0
et f.
La z´ ero-stabilit´ e requiert donc que, sur un intervalle born´ e, la condition (10.15)
soit v´ erifi´ ee pour toute valeur h ≤ h 0 . La z´ ero-stabilit´ e implique donc que, sur
un intervalle born´ e, (10.15) est vraie. Cette propri´ et´ e concerne en particulier
le comportement de la m´ ethode num´ erique dans le cas limite h → 0, ce qui
justifie le nom de z´ ero-stabilit´ e. Ce type de stabilit´ e est donc une propri´ et´ e
caract´ eristique de la m´ ethode num´ erique elle-mˆ eme, et pas du probl` eme de
Cauchy (dont la stabilit´ e est une cons´ equence du fait que f est uniform´ ement
lipschitzienne). La propri´ et´ e (10.15) assure que la m´ ethode num´ erique est peu
sensible aux petites perturbations des donn´ ees ; elle assure donc la stabilit´ e
au sens de la d´ efinition g´ en´ erale donn´ ee au Chapitre 2.
L’exigence d’avoir une m´ ethode num´ erique stable provient avant tout de la
n´ ecessit´ e de contrˆ oler les (in´ evitables) erreurs introduites par l’arithm´ etique
finie des ordinateurs. En effet, si la m´ ethode num´ erique n’´ etait pas z´ ero-stable,
les erreurs d’arrondi commises sur y 0 et sur le calcul de f(t n , y n ) rendraient
la solution calcul´ ee inutilisable.
Th´ eor` eme 10.1 (z´ ero-stabilit´ e) Consid´ erons la m´ ethode explicite `
a un
pas (10.11) pour la r´ esolution num´ erique du probl` eme de Cauchy (10.1). On