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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
o` u Φ(·, ·, ·; ·) est appel´ ee fonction d’incr´ ement. En posant comme pr´ ec´ edemment y n = y(t n ), on a
y n+1 = y n + hΦ(t n , y n , f(t n , y n ); h) + ε n+1 , 0 ≤ n ≤ N h − 1, (10.12)
o` u ε n+1 est le r´ esidu obtenu au point t n+1 quand on ins` ere la solution exacte
dans le sch´ ema num´ erique. Ecrivons le r´ esidu sous la forme
ε n+1 = hτ n+1 (h).
La quantit´ e τ n+1 (h) est appel´ ee erreur de troncature locale (ETL) au noeud
t n+1 . L’erreur de troncature globale est alors d´ efinie par
τ (h) = max
0≤n≤Nh−1
|τ n+1 (h)|.
Remarquer que τ (h) d´ epend de la solution y du probl` eme de Cauchy (10.1).
La m´ ethode d’Euler progressive est un cas particulier de (10.11), pour
lequel
Φ(t n , u n , f n ; h) = f n ,
et la m´ ethode de Heun correspond `
a
Φ(t n , u n , f n ; h) =
1
2
[f n + f(t n + h, u n + hf n )] .
Un sch´ ema explicite ` a un pas est enti` erement caract´ eris´ e par sa fonction d’incr´ ement Φ. Cette fonction, dans tous les cas consid´ er´ es jusqu’` a pr´ esent, est
telle que
lim
h→0
Φ(t n , y n , f(t n , y n ); h) = f(t n , y n ) ∀t n ≥ t 0
(10.13)
La propri´ et´ e (10.13), jointe `
a la relation ´ evidente y n+1 −y n = hy
(t n )+O(h
2 ),
∀n ≥ 0, nous permet de d´ eduire de (10.12) que lim
h→0
τ n (h) = 0, 0 ≤ n ≤ N h −1,
ce qui implique
lim
h→0
τ (h) = 0.
Cette derni` ere relation exprime la consistance de la m´ ethode num´ erique
(10.11) avec le probl` eme de Cauchy (10.1). En g´ en´ eral, une m´ ethode est dite
consistante si son erreur de troncature locale est un infiniment petit en h
(c’est-` a-dire un O(h)). De plus, un sch´ ema est d’ordre p si, ∀t ∈ I, la solution
y(t) du probl` eme de Cauchy (10.1) satisfait la relation
τ (h) = O(h
p ) pour h → 0.
(10.14)
En utilisant des d´ eveloppements de Taylor, on peut montrer que la m´ ethode
d’Euler progressive est d’ordre 1, tandis que la m´ ethode de Heun est d’ordre
2 (voir Exercices 1 et 2).
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
o` u Φ(·, ·, ·; ·) est appel´ ee fonction d’incr´ ement. En posant comme pr´ ec´ edemment y n = y(t n ), on a
y n+1 = y n + hΦ(t n , y n , f(t n , y n ); h) + ε n+1 , 0 ≤ n ≤ N h − 1, (10.12)
o` u ε n+1 est le r´ esidu obtenu au point t n+1 quand on ins` ere la solution exacte
dans le sch´ ema num´ erique. Ecrivons le r´ esidu sous la forme
ε n+1 = hτ n+1 (h).
La quantit´ e τ n+1 (h) est appel´ ee erreur de troncature locale (ETL) au noeud
t n+1 . L’erreur de troncature globale est alors d´ efinie par
τ (h) = max
0≤n≤Nh−1
|τ n+1 (h)|.
Remarquer que τ (h) d´ epend de la solution y du probl` eme de Cauchy (10.1).
La m´ ethode d’Euler progressive est un cas particulier de (10.11), pour
lequel
Φ(t n , u n , f n ; h) = f n ,
et la m´ ethode de Heun correspond `
a
Φ(t n , u n , f n ; h) =
1
2
[f n + f(t n + h, u n + hf n )] .
Un sch´ ema explicite ` a un pas est enti` erement caract´ eris´ e par sa fonction d’incr´ ement Φ. Cette fonction, dans tous les cas consid´ er´ es jusqu’` a pr´ esent, est
telle que
lim
h→0
Φ(t n , y n , f(t n , y n ); h) = f(t n , y n ) ∀t n ≥ t 0
(10.13)
La propri´ et´ e (10.13), jointe `
a la relation ´ evidente y n+1 −y n = hy
(t n )+O(h
2 ),
∀n ≥ 0, nous permet de d´ eduire de (10.12) que lim
h→0
τ n (h) = 0, 0 ≤ n ≤ N h −1,
ce qui implique
lim
h→0
τ (h) = 0.
Cette derni` ere relation exprime la consistance de la m´ ethode num´ erique
(10.11) avec le probl` eme de Cauchy (10.1). En g´ en´ eral, une m´ ethode est dite
consistante si son erreur de troncature locale est un infiniment petit en h
(c’est-` a-dire un O(h)). De plus, un sch´ ema est d’ordre p si, ∀t ∈ I, la solution
y(t) du probl` eme de Cauchy (10.1) satisfait la relation
τ (h) = O(h
p ) pour h → 0.
(10.14)
En utilisant des d´ eveloppements de Taylor, on peut montrer que la m´ ethode
d’Euler progressive est d’ordre 1, tandis que la m´ ethode de Heun est d’ordre
2 (voir Exercices 1 et 2).