10.3 Analyse des m´ ethodes ` a un pas
373
2. m´ ethode d’Euler r´ etrograde :
u n+1 = u n + hf n+1 .
(10.8)
Dans les deux cas, y
est approch´ ee par un sch´ ema aux diff´ erences finies (progressives dans (10.7) et r´ etrogrades dans (10.8), voir Section 9.10.1). Puisque
ces deux sch´ emas sont des approximations au premier ordre par rapport `
a h
de la d´ eriv´ ee premi` ere de y, on s’attend `
a obtenir une approximation d’autant
plus pr´ ecise que le pas du maillage h est petit.
3. m´ ethode du trap` eze (ou de Crank-Nicolson) :
u n+1 = u n +
h
2
[f n + f n+1 ] .
(10.9)
Cette m´ ethode provient de l’approximation de l’int´ egrale de (10.2) par la
formule de quadrature du trap` eze (8.11).
4. m´ ethode de Heun :
u n+1 = u n +
h
2
[f n + f(t n+1 , u n + hf n )].
(10.10)
Cette m´ ethode peut ˆ etre obtenue `
a partir de la m´ ethode du trap` eze en rempla¸ cant f n+1 par f(t n+1 , u n + hf n ) dans (10.9) (c’est-` a-dire en utilisant la
m´ ethode d’Euler progressive pour calculer u n+1 ).
D´ efinition 10.3 (m´ ethodes explicites et m´ ethodes implicites) Une
m´ ethode est dite explicite si la valeur u n+1 peut ˆ etre calcul´ ee directement
` a l’aide des valeurs pr´ ec´ edentes u k , k ≤ n (ou d’une partie d’entre elles). Une
m´ ethode est dite implicite si u n+1 n’est d´ efinie que par une relation implicite
faisant intervenir la fonction f.
Ainsi, la substitution op´ er´ ee dans la m´ ethode de Heun a pour effet de transformer la m´ ethode implicite du trap` eze (10.10) en une m´ ethode explicite. La
m´ ethode d’Euler progressive (10.7) est explicite, tandis que celle d’Euler r´ etrograde (10.8) est implicite. Noter que les m´ ethodes implicites n´ ecessitent ` a
chaque pas de temps la r´ esolution d’un probl` eme non lin´ eaire (si f d´ epend
non lin´ eairement de la seconde variable).
Les m´ ethodes de Runge-Kutta constituent un exemple important de m´ ethodes `
a un pas. Nous les analyserons `
a la Section 10.8.
10.3 Analyse des m´ ethodes `
a un pas
Toute m´ ethode explicite `
a un pas approchant (10.1) peut ˆ etre mise sous la
forme
u n+1 = u n + hΦ(t n , u n , f n ; h), 0 ≤ n ≤ N h − 1, u 0 = y 0 ,
(10.11)
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2. m´ ethode d’Euler r´ etrograde :
u n+1 = u n + hf n+1 .
(10.8)
Dans les deux cas, y
est approch´ ee par un sch´ ema aux diff´ erences finies (progressives dans (10.7) et r´ etrogrades dans (10.8), voir Section 9.10.1). Puisque
ces deux sch´ emas sont des approximations au premier ordre par rapport `
a h
de la d´ eriv´ ee premi` ere de y, on s’attend `
a obtenir une approximation d’autant
plus pr´ ecise que le pas du maillage h est petit.
3. m´ ethode du trap` eze (ou de Crank-Nicolson) :
u n+1 = u n +
h
2
[f n + f n+1 ] .
(10.9)
Cette m´ ethode provient de l’approximation de l’int´ egrale de (10.2) par la
formule de quadrature du trap` eze (8.11).
4. m´ ethode de Heun :
u n+1 = u n +
h
2
[f n + f(t n+1 , u n + hf n )].
(10.10)
Cette m´ ethode peut ˆ etre obtenue `
a partir de la m´ ethode du trap` eze en rempla¸ cant f n+1 par f(t n+1 , u n + hf n ) dans (10.9) (c’est-` a-dire en utilisant la
m´ ethode d’Euler progressive pour calculer u n+1 ).
D´ efinition 10.3 (m´ ethodes explicites et m´ ethodes implicites) Une
m´ ethode est dite explicite si la valeur u n+1 peut ˆ etre calcul´ ee directement
` a l’aide des valeurs pr´ ec´ edentes u k , k ≤ n (ou d’une partie d’entre elles). Une
m´ ethode est dite implicite si u n+1 n’est d´ efinie que par une relation implicite
faisant intervenir la fonction f.
Ainsi, la substitution op´ er´ ee dans la m´ ethode de Heun a pour effet de transformer la m´ ethode implicite du trap` eze (10.10) en une m´ ethode explicite. La
m´ ethode d’Euler progressive (10.7) est explicite, tandis que celle d’Euler r´ etrograde (10.8) est implicite. Noter que les m´ ethodes implicites n´ ecessitent ` a
chaque pas de temps la r´ esolution d’un probl` eme non lin´ eaire (si f d´ epend
non lin´ eairement de la seconde variable).
Les m´ ethodes de Runge-Kutta constituent un exemple important de m´ ethodes `
a un pas. Nous les analyserons `
a la Section 10.8.
10.3 Analyse des m´ ethodes `
a un pas
Toute m´ ethode explicite `
a un pas approchant (10.1) peut ˆ etre mise sous la
forme
u n+1 = u n + hΦ(t n , u n , f n ; h), 0 ≤ n ≤ N h − 1, u 0 = y 0 ,
(10.11)