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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
alors
ϕ(t) ≤ g(t) exp
⎛
⎝
t
t0
p(τ )dτ
⎞
⎠
∀t ∈ [t 0 , t 0 + T ].
Pour la preuve, voir par. ex. [QV94] Lemme 1.4.1.
La constante C qui apparaˆ ıt dans (10.5) peut ˆ etre tr` es grande, et d´ epend
en g´ en´ eral de l’intervalle I, comme c’est le cas dans la preuve ci-dessus. Pour
cette raison, la propri´ et´ e de stabilit´ e asymptotique est mieux adapt´ ee pour
d´ ecrire le comportement du syst` eme dynamique (10.1) quand t → +∞ (voir
[Arn73]).
On ne sait int´ egrer qu’un tr` es petit nombre d’EDO non lin´ eaires (voir
p. ex. [Arn73]). De plus, mˆ eme quand c’est possible, il n’est pas toujours
facile d’exprimer explicitement la solution ; consid´ erer par exemple l’´ equation
tr` es simple y
= (y − t)/(y + t), dont la solution n’est d´ efinie que de mani` ere
implicite par la relation (1/2) log(t
2 + y
2 ) + tan
−1 (y/t) = C, o` u C est une
constante d´ ependant de la condition initiale.
Pour cette raison, nous sommes conduits ` a consid´ erer des m´ ethodes num´ eriques. Celles-ci peuvent en effet ˆ etre appliqu´ ees ` a n’importe quelle EDO,
sous la seule condition qu’elle admette une unique solution.
10.2 M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
Abordons `
a pr´ esent l’approximation num´ erique du probl` eme de Cauchy (10.1).
On fixe 0 < T < +∞ et on note I =]t 0 , t 0 + T [ l’intervalle d’int´ egration.
Pour h > 0, soit t n = t 0 + nh, avec n = 0, 1, 2, . . ., N h , une suite de noeuds
de I induisant une discr´ etisation de I en sous-intervalles I n = [t n , t n+1 ]. La
longueur h de ces sous-intervalles est appel´ ee pas de discr´ etisation. Le nombre
N h est le plus grand entier tel que t Nh ≤ t 0 + T . Soit u j l’approximation au
noeud t j de la solution exacte y(t j ) ; cette valeur de la solution exacte sera
not´ ee dans la suite y j pour abr´ eger. De mˆ eme, f j d´ esigne la valeur f(t j , u j ).
On pose naturellement u 0 = y 0 .
D´ efinition 10.2 Une m´ ethode num´ erique pour l’approximation du probl` eme
(10.1) est dite `
a un pas si ∀n ≥ 0, u n+1 ne d´ epend que de u n . Autrement, on
dit que le sch´ ema est une m´ ethode multi-pas (ou ` a pas multiples).
Pour l’instant, nous concentrons notre attention sur les m´ ethodes ` a un pas.
En voici quelques-unes :
1. m´ ethode d’Euler progressive :
u n+1 = u n + hf n ;
(10.7)
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
alors
ϕ(t) ≤ g(t) exp
⎛
⎝
t
t0
p(τ )dτ
⎞
⎠
∀t ∈ [t 0 , t 0 + T ].
Pour la preuve, voir par. ex. [QV94] Lemme 1.4.1.
La constante C qui apparaˆ ıt dans (10.5) peut ˆ etre tr` es grande, et d´ epend
en g´ en´ eral de l’intervalle I, comme c’est le cas dans la preuve ci-dessus. Pour
cette raison, la propri´ et´ e de stabilit´ e asymptotique est mieux adapt´ ee pour
d´ ecrire le comportement du syst` eme dynamique (10.1) quand t → +∞ (voir
[Arn73]).
On ne sait int´ egrer qu’un tr` es petit nombre d’EDO non lin´ eaires (voir
p. ex. [Arn73]). De plus, mˆ eme quand c’est possible, il n’est pas toujours
facile d’exprimer explicitement la solution ; consid´ erer par exemple l’´ equation
tr` es simple y
= (y − t)/(y + t), dont la solution n’est d´ efinie que de mani` ere
implicite par la relation (1/2) log(t
2 + y
2 ) + tan
−1 (y/t) = C, o` u C est une
constante d´ ependant de la condition initiale.
Pour cette raison, nous sommes conduits ` a consid´ erer des m´ ethodes num´ eriques. Celles-ci peuvent en effet ˆ etre appliqu´ ees ` a n’importe quelle EDO,
sous la seule condition qu’elle admette une unique solution.
10.2 M´ ethodes num´ eriques `
a un pas
Abordons `
a pr´ esent l’approximation num´ erique du probl` eme de Cauchy (10.1).
On fixe 0 < T < +∞ et on note I =]t 0 , t 0 + T [ l’intervalle d’int´ egration.
Pour h > 0, soit t n = t 0 + nh, avec n = 0, 1, 2, . . ., N h , une suite de noeuds
de I induisant une discr´ etisation de I en sous-intervalles I n = [t n , t n+1 ]. La
longueur h de ces sous-intervalles est appel´ ee pas de discr´ etisation. Le nombre
N h est le plus grand entier tel que t Nh ≤ t 0 + T . Soit u j l’approximation au
noeud t j de la solution exacte y(t j ) ; cette valeur de la solution exacte sera
not´ ee dans la suite y j pour abr´ eger. De mˆ eme, f j d´ esigne la valeur f(t j , u j ).
On pose naturellement u 0 = y 0 .
D´ efinition 10.2 Une m´ ethode num´ erique pour l’approximation du probl` eme
(10.1) est dite `
a un pas si ∀n ≥ 0, u n+1 ne d´ epend que de u n . Autrement, on
dit que le sch´ ema est une m´ ethode multi-pas (ou ` a pas multiples).
Pour l’instant, nous concentrons notre attention sur les m´ ethodes ` a un pas.
En voici quelques-unes :
1. m´ ethode d’Euler progressive :
u n+1 = u n + hf n ;
(10.7)