10.1 Le probl` eme de Cauchy
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D´ efinition 10.1 ([Hah67], [Ste71]). Soit I un ensemble born´ e. Le probl` eme
de Cauchy (10.1) est stable au sens de Liapunov (ou simplement stable) sur I
si, pour toute perturbation (δ 0 , δ(t)) satisfaisant
|δ 0 | < ε,
|δ(t)| < ε ∀t ∈ I,
avec ε > 0 assez petit pour garantir l’existence de la solution du probl` eme
perturb´ e (10.4), alors
∃C > 0 tel que |y(t) − z(t)| < Cε
∀t ∈ I.
(10.5)
La constante C d´ epend en g´ en´ eral des donn´ ees du probl` eme t 0 , y et f, mais
pas de ε.
Quand I n’est pas born´ e sup´ erieurement, on dit que (10.1) est asymptotiquement stable si, en plus de (10.5), on a la propri´ et´ e suivante
|y(t) − z(t)| → 0
quand t → +∞,
(10.6)
si |δ(t)| → 0, quand t → +∞.
Dire que le probl` eme de Cauchy est stable est ´ equivalent `
a dire qu’il est bien
pos´ e au sens donn´ e au Chapitre 2. Si f est uniform´ ement lipschitzienne par
rapport `
a sa deuxi` eme variable, alors le probl` eme de Cauchy est stable. En
effet, en posant w(t) = z(t) − y(t), on a
w
(t) = f(t, z(t)) − f(t, y(t)) + δ(t),
d’o` u
w(t) = δ 0 +
t
t0
[f(s, z(s)) − f(s, y(s))] ds +
t
t0
δ(s)ds
∀t ∈ I.
D’apr` es les hypoth` eses, on en d´ eduit
|w(t)| ≤ (1 + |t − t 0 |) ε + L
t
t0
|w(s)|ds.
Le lemme de Gronwall (qu’on rappelle ci-dessous) donne alors
|w(t)| ≤ (1 + |t − t 0 |) εe
L|t−t0|
∀t ∈ I
d’o` u on d´ eduit (10.5) avec C = (1 + K I )e
LKI o` u K I = max t∈I |t − t 0 |.
Lemme 10.1 (de Gronwall) Soit p une fonction positive int´ egrable sur
l’intervalle ]t 0 , t 0 +T [, et soient g et ϕ deux fonctions continues sur [t 0 , t 0 +T ],
avec g croissante. Si ϕ satisfait l’in´ egalit´ e
ϕ(t) ≤ g(t) +
t
t0
p(τ )ϕ(τ )dτ
∀t ∈ [t 0 , t 0 + T ],