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10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
On obtient en int´ egrant (10.1) entre t 0 et t
y(t) − y 0 =
t
t0
f(τ, y(τ ))dτ.
(10.2)
La solution de (10.1) est donc de classe C
1 sur I et satisfait l’´ equation int´ egrale (10.2). Inversement, si y est d´ efinie par (10.2), alors elle est continue
sur I et y(t 0 ) = y 0 . De plus, en tant que primitive de la fonction continue
f(·, y(·)), y ∈ C
1 (I) et satisfait l’´ equation diff´ erentielle y
(t) = f(t, y(t)).
Ainsi, si f est continue, le probl` eme de Cauchy (10.1) est ´ equivalent `
a
l’´ equation int´ egrale (10.2). Nous verrons plus loin comment tirer parti de cette
´ equivalence pour les m´ ethodes num´ eriques.
Rappelons maintenant deux r´ esultats d’existence et d’unicit´ e pour (10.1).
1. Existence locale et unicit´ e. On suppose f(t, y) localement lipschitzienne en (t 0 , y 0 ) par rapport `
a y, ce qui signifie qu’il existe une boule
ouverte J ⊆ I centr´ ee en t 0 de rayon r J , une boule ouverte Σ centr´ ee en
y 0 de rayon r Σ et une constante L > 0 telles que
|f(t, y 1 ) − f(t, y 2 )| ≤ L|y 1 − y 2 | ∀t ∈ J, ∀y 1 , y 2 ∈ Σ.
(10.3)
Sous cette hypoth` ese, le probl` eme de Cauchy (10.1) admet une unique
solution dans une boule ouverte de centre t 0 et de rayon r 0 avec 0 < r 0 <
min(r J , r Σ /M, 1/L), o` u M est le maximum de |f(t, y)| sur J × Σ. Cette
solution est appel´ ee solution locale.
Remarquer que la condition (10.3) est automatiquement v´ erifi´ ee si la d´ eriv´ ee de f par rapport `
a y est continue : en effet, dans ce cas, il suffit de
prendre pour L le maximum de |∂f(t, y)/∂y| sur J × Σ.
2. Existence globale et unicit´ e. Le probl` eme de Cauchy admet une solution globale unique si on peut prendre dans (10.3)
J = I,
Σ = R,
c’est-` a-dire, si f est uniform´ ement lipschitzienne par rapport `
a y.
En vue de l’analyse de stabilit´ e du probl` eme de Cauchy, on consid` ere le probl` eme suivant
z
(t) = f(t, z(t)) + δ(t),
t∈ I,
z(t 0 ) = y 0 + δ 0 ,
(10.4)
o` u δ 0 ∈ R et o` u δ est une fonction continue sur I. Le probl` eme (10.4) est d´ eduit
de (10.1) en perturbant la donn´ ee initiale y 0 et la fonction f. Caract´ erisons ` a
pr´ esent la sensibilit´ e de la solution z par rapport `
a ces perturbations.
10 R´ esolution num´ erique des ´ equations diff´ erentielles ordinaires
On obtient en int´ egrant (10.1) entre t 0 et t
y(t) − y 0 =
t
t0
f(τ, y(τ ))dτ.
(10.2)
La solution de (10.1) est donc de classe C
1 sur I et satisfait l’´ equation int´ egrale (10.2). Inversement, si y est d´ efinie par (10.2), alors elle est continue
sur I et y(t 0 ) = y 0 . De plus, en tant que primitive de la fonction continue
f(·, y(·)), y ∈ C
1 (I) et satisfait l’´ equation diff´ erentielle y
(t) = f(t, y(t)).
Ainsi, si f est continue, le probl` eme de Cauchy (10.1) est ´ equivalent `
a
l’´ equation int´ egrale (10.2). Nous verrons plus loin comment tirer parti de cette
´ equivalence pour les m´ ethodes num´ eriques.
Rappelons maintenant deux r´ esultats d’existence et d’unicit´ e pour (10.1).
1. Existence locale et unicit´ e. On suppose f(t, y) localement lipschitzienne en (t 0 , y 0 ) par rapport `
a y, ce qui signifie qu’il existe une boule
ouverte J ⊆ I centr´ ee en t 0 de rayon r J , une boule ouverte Σ centr´ ee en
y 0 de rayon r Σ et une constante L > 0 telles que
|f(t, y 1 ) − f(t, y 2 )| ≤ L|y 1 − y 2 | ∀t ∈ J, ∀y 1 , y 2 ∈ Σ.
(10.3)
Sous cette hypoth` ese, le probl` eme de Cauchy (10.1) admet une unique
solution dans une boule ouverte de centre t 0 et de rayon r 0 avec 0 < r 0 <
min(r J , r Σ /M, 1/L), o` u M est le maximum de |f(t, y)| sur J × Σ. Cette
solution est appel´ ee solution locale.
Remarquer que la condition (10.3) est automatiquement v´ erifi´ ee si la d´ eriv´ ee de f par rapport `
a y est continue : en effet, dans ce cas, il suffit de
prendre pour L le maximum de |∂f(t, y)/∂y| sur J × Σ.
2. Existence globale et unicit´ e. Le probl` eme de Cauchy admet une solution globale unique si on peut prendre dans (10.3)
J = I,
Σ = R,
c’est-` a-dire, si f est uniform´ ement lipschitzienne par rapport `
a y.
En vue de l’analyse de stabilit´ e du probl` eme de Cauchy, on consid` ere le probl` eme suivant
z
(t) = f(t, z(t)) + δ(t),
t∈ I,
z(t 0 ) = y 0 + δ 0 ,
(10.4)
o` u δ 0 ∈ R et o` u δ est une fonction continue sur I. Le probl` eme (10.4) est d´ eduit
de (10.1) en perturbant la donn´ ee initiale y 0 et la fonction f. Caract´ erisons ` a
pr´ esent la sensibilit´ e de la solution z par rapport `
a ces perturbations.