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R´ esolution num´ erique des ´ equations
diff´ erentielles ordinaires
Nous abordons dans ce chapitre la r´ esolution num´ erique du probl` eme de Cauchy pour les ´ equations diff´ erentielles ordinaires (EDO). Apr` es un bref rappel des notions de base sur les EDO, nous introduisons les techniques les
plus couramment utilis´ ees pour l’approximation num´ erique des ´ equations scalaires. Nous pr´ esentons ensuite les concepts de consistance, convergence, z´ erostabilit´ e et stabilit´ e absolue. Nous ´ etendons enfin notre analyse aux syst` emes
d’EDO, avec une attention particuli` ere pour les probl` emes raides.
10.1 Le probl` eme de Cauchy
Le probl` eme de Cauchy (aussi appel´ e probl` eme aux valeurs initiales) consiste
` a trouver la solution d’une EDO, scalaire ou vectorielle, satisfaisant des conditions initiales. Par exemple, dans le cas scalaire, si I d´ esigne un intervalle de
R contenant le point t 0 , le probl` eme de Cauchy associ´ e ` a une EDO du premier
ordre s’´ ecrit :
trouver une fonction r´ eelle y ∈ C
1 (I) telle que
y
(t) = f(t, y(t)),
t∈ I,
y(t 0 ) = y 0 ,
(10.1)
o` u f(t, y) est une fonction donn´ ee ` a valeur r´ eelle d´ efinie sur le produit S =
I×] − ∞, +∞[ et continue par rapport aux deux variables. Si f ne d´ epend
pas explicitement de t (i.e. f(t, y) = f(y)), l’´ equation diff´ erentielle est dite
autonome.
L’essentiel de notre analyse concernera le cas o` u l’on a qu’une seule ´ equation, c’est-` a-dire le cas scalaire. L’extension aux syst` emes sera faite ` a la Section 10.9.
R´ esolution num´ erique des ´ equations
diff´ erentielles ordinaires
Nous abordons dans ce chapitre la r´ esolution num´ erique du probl` eme de Cauchy pour les ´ equations diff´ erentielles ordinaires (EDO). Apr` es un bref rappel des notions de base sur les EDO, nous introduisons les techniques les
plus couramment utilis´ ees pour l’approximation num´ erique des ´ equations scalaires. Nous pr´ esentons ensuite les concepts de consistance, convergence, z´ erostabilit´ e et stabilit´ e absolue. Nous ´ etendons enfin notre analyse aux syst` emes
d’EDO, avec une attention particuli` ere pour les probl` emes raides.
10.1 Le probl` eme de Cauchy
Le probl` eme de Cauchy (aussi appel´ e probl` eme aux valeurs initiales) consiste
` a trouver la solution d’une EDO, scalaire ou vectorielle, satisfaisant des conditions initiales. Par exemple, dans le cas scalaire, si I d´ esigne un intervalle de
R contenant le point t 0 , le probl` eme de Cauchy associ´ e ` a une EDO du premier
ordre s’´ ecrit :
trouver une fonction r´ eelle y ∈ C
1 (I) telle que
y
(t) = f(t, y(t)),
t∈ I,
y(t 0 ) = y 0 ,
(10.1)
o` u f(t, y) est une fonction donn´ ee ` a valeur r´ eelle d´ efinie sur le produit S =
I×] − ∞, +∞[ et continue par rapport aux deux variables. Si f ne d´ epend
pas explicitement de t (i.e. f(t, y) = f(y)), l’´ equation diff´ erentielle est dite
autonome.
L’essentiel de notre analyse concernera le cas o` u l’on a qu’une seule ´ equation, c’est-` a-dire le cas scalaire. L’extension aux syst` emes sera faite ` a la Section 10.9.