9.11 Exercices
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6. Prouver (9.43).
[Indication : remarquer que (Π
GL
n f, Lj)n =
k f
∗
k (Lk, Lj)n = . . ., en distinguant le cas j < n du cas j = n.]
7. Montrer que ||| · |||, d´ efinie en (9.48), est une semi-norme essentiellement stricte.
[Solution : utiliser l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz (1.15) pour v´ erifier l’in´ egalit´ e
triangulaire, ce qui prouve que ||| · ||| est une semi-norme. Le fait qu’elle soit
essentiellement stricte s’obtient apr` es un peu d’alg` ebre.]
8. Consid´ erer dans un intervalle [a, b] les noeuds
xj = a +
j −
1
2
b − a
m
, j = 1, 2, . . . , m
pour m ≥ 1. Ce sont les milieux de m sous-intervalles de [a, b]. Soit f une
fonction donn´ ee ; prouver que le polynˆ ome des moindres carr´ es rn relatif au
poids w(x) = 1 minimise l’erreur moyenne d´ efinie par
E = lim
m→∞
1
m
m
j=1
[f (xj) − rn(xj)]
2
1/2
.
9. Consid´ erer la fonction
F (a0, a1, . . . , an) =
1
0
f (x) −
n
j=0
ajx
j
2
dx
et d´ eterminer les coefficients a0, a1, . . . , an qui minimisent F . Quel type de syst` eme lin´ eaire obtient-on ?
[Indication : imposer les conditions ∂F/∂ai = 0 avec i = 0, 1, . . . , n. La matrice
du syst` eme lin´ eaire est la matrice de Hilbert (voir Exemple 3.1, Chapitre 3) qui
est tr` es mal conditionn´ ee.]