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9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
La d´ eriv´ ee seconde pseudo-spectrale peut ˆ etre calcul´ ee comme le produit
de la matrice D par le vecteur f
, c’est-` a-dire f
= Df
, ou en appliquant
directement la matrice D
2 au vecteur f .
9.11 Exercices
1. Montrer la relation (9.12).
[Indication : poser x = cos(θ), pour 0 ≤ θ ≤ π.]
2. Montrer (9.34).
[Indication : commencer par montrer que vn = (vn, vn)
1/2 , =
pour k < n et Tn
2
n = 2Tn
2
w (voir [QV94], formule (4.3.16)). L’assertion
d´ ecoule alors de (9.32) en multipliant par Tl (l = k) et en prenant (·, ·)n.]
3. Prouver (9.27) apr` es avoir montr´ e que
− Π
GL
n f )
ω ≤ Cn
1−s f s,ω.
(9.70)
[Indication : utiliser l’in´ egalit´ e de Gagliardo-Nirenberg
max
−1≤x≤1
|f (x)| ≤ ≤f
1/2 f
1/2
valide pour toute fonction f ∈ L
2 avec f
∈ L
2 . Utiliser ensuite (9.70) pour
montrer (9.27).]
4. Montrer que la semi-norme discr` ete
n = (f, f )
1/2
n
est une norme sur Pn.
5. Calculer les poids et les noeuds des formules de quadrature
b
a
w(x)f (x)dx =
n
i=0
ωif (xi),
de mani` ere ` a ce que leur ordre soit maximal, avec
ω(x) =
√
x,
a = 0,
b= 1, n = 1;
ω(x) = 2x
2 + 1,
a = −1, b = 1, n = 0;
ω(x) =
2 pour 0 < x ≤ 1,
1 pour − 1 ≤ x ≤ 0
a = −1, b = 1, n = 1;
[Solution : pour ω(x) =
√
x, les noeuds sont x1 =
5
9
+
2
9
10/7, x2 =
5
9
−
2
9
10/7, d’o` u on d´ eduit les poids (ordre 3) ; pour ω(x) = 2x
2 + 1, on obtient
x1 = 3/5 et ω1 = 5/3 (ordre 1) ; pour ω(x) = 2x
2 + 1, on a x1 =
1
22
+
1
22
√
155,
x2 =
1
22
−
1
22
√
155 (ordre 3).]