9.10 Approximation des d´ eriv´ ees
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(x i+1 , f(x i+1 )) (voir Figure 9.3). En ´ ecrivant `
a nouveau le d´ eveloppement de
Taylor on obtient
f
(x i ) − u
CD
i
= −
h
2
6
f
(ξ i ).
La formule (9.62) fournit donc une approximation de f
(x i ) qui est du second
ordre par rapport `
a h.
Enfin, on peut d´ efinir de mani` ere analogue la diff´ erence finie r´ etrograde
par
u
BD
i
=
f(x i ) − f(x i−1 )
h
,
1 ≤ i ≤ n,
` a laquelle correspond l’erreur suivante :
f
(x i ) − u
BD
i
=
h
2
f
(ξ i ).
Les valeurs des param` etres dans (9.59) sont m = 0, α 0 = 1, m
= 1 et β −1 = 0,
β 0 = 1, β 1 = −1.
Des sch´ emas d’ordre ´ elev´ e, ou encore des approximations par diff´ erences finies de d´ eriv´ ees de u d’ordre sup´ erieur, peuvent ˆ etre construits en augmentant
l’ordre des d´ eveloppements de Taylor. Voici un exemple concernant l’approximation de f
; si f ∈ C
4 ([a, b]) on obtient facilement
f
(x i ) =
f(x i+1 ) − 2f(x i ) + f(x i−1 )
h 2
−
h
2
24
f
(4) (x i + θ i h) + f
(4) (x i − ω i h)
,
0 < θ i , ω i < 1,
d’o` u on d´ eduit le sch´ ema aux diff´ erences finies centr´ ees
u
i =
f(x i+1 ) − 2f(x i ) + f(x i−1 )
h 2
,
1 ≤ i ≤ n − 1,
(9.63)
auquel correspond l’erreur
f
(x i ) − u
i = −
h
2
24
f
(4) (x i + θ i h) + f
(4) (x i − ω i h)
.
La formule (9.63) fournit une approximation de f
(x i ) du second ordre par
rapport `
a h.
9.10.2 Diff´ erences finies compactes
Des approximations plus pr´ ecises de f
sont donn´ ees par les formules suivantes
(que nous appellerons diff´ erences compactes) :
αu i−1 + u i + αu i+1 =
β
2h
(f i+1 − f i−1 ) +
γ
4h
(f i+2 − f i−2 ),
(9.64)