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9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
En rempla¸ cant la limite par le taux d’accroissement, avec h fini, on obtient
l’approximation
u
F D
i
=
f(x i+1 ) − f(x i )
h
,
0 ≤ i ≤ n − 1.
(9.61)
La relation (9.61) est un cas particulier de (9.59) o` u m = 0, α 0 = 1, m
= 1,
β −1 = 1, β 0 = −1, β 1 = 0. Le second membre de (9.61) est appel´ e diff´ erence finie progressive. L’approximation que l’on fait revient `
a remplacer f
(x i ) par la
pente de la droite passant par les points (x i , f(x i )) et (x i+1 , f(x i+1 )), comme
le montre la Figure 9.3. Pour estimer l’erreur commise, il suffit d’´ ecrire le
d´ eveloppement de Taylor de f (qui sera toujours suppos´ ee assez r´ eguli` ere) :
f(x i+1 ) = f(x i ) + hf
(x i ) +
h
2
2
f
(ξ i ),
o` u ξ i ∈]x i , x i+1 [.
Ainsi,
f
(x i ) − u
F D
i
= −
h
2
f
(ξ i ).
f(x i )
f(x i−1 )
f(x i+1 )
x i−1
x i
x i+1
Fig. 9.3. Approximation par diff´ erences finies de f
(xi) : r´ etrograde (trait discontinu), progressive (trait plein) et centr´ ee (pointill´ es)
Au lieu de (9.60), on aurait pu utiliser un taux d’accroissement centr´ e,
obtenant alors l’approximation suivante :
u
CD
i
=
f(x i+1 ) − f(x i−1 )
2h
,
1 ≤ i ≤ n − 1.
(9.62)
Le sch´ ema (9.62) est un cas particulier de (9.59) o` u m = 0, α 0 = 1, m
= 1,
β −1 = 1/2, β 0 = 0, β 1 = −1/2. Le second membre de (9.62) est appel´ e
diff´ erence finie centr´ ee. G´ eom´ etriquement, l’approximation revient `
a remplacer f
(x i ) par la pente de la droite passant par les points (x i−1 , f(x i−1 )) et