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9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
o` u i = 2, . . . , n − 2 et o` u on a pos´ e pour abr´ eger f i = f(x i ).
Les coefficients α, β et γ doivent ˆ etre d´ etermin´ es de mani` ere ` a ce que
les relations (9.64) conduisent `
a des valeurs de u i qui approchent f
(x i ) `
a
l’ordre le plus ´ elev´ e par rapport `
a h. Pour cela, on choisit des coefficients qui
minimisent l’erreur de consistance (voir Section 2.2)
σ i (h) = αf
(1)
i−1 + f
(1)
i − αf
(1)
i+1 −
β
2h
(f i+1 − f i−1 ) +
γ
4h
(f i+2 − f i−2 )
. (9.65)
Cette formule est obtenue en “injectant” f dans le sch´ ema num´ erique (9.64).
Pour abr´ eger, on pose f
(k)
i
= f
(k) (x i ), k = 1, 2, . . ..
Plus pr´ ecis´ ement, en supposant que f ∈ C
5 ([a, b]) et en ´ ecrivant le d´ eveloppement de Taylor en x i , on trouve
f i±1 = f i ± hf
(1)
i
+
h
2
2 f
(2)
i
±
h
3
6 f
(3)
i
+
h
4
24 f
(4)
i
±
h
5
120 f
(5)
i
+ O(h
6 ),
f
(1)
i±1 = f
(1)
i
± hf
(2)
i
+
h
2
2 f
(3)
i
±
h
3
6 f
(4)
i
+
h
4
24 f
(5)
i
+ O(h
5 ).
Par substitution dans (9.65), on obtient
σ i (h) = (2α + 1)f
(1)
i
+ α
h
2
2
f
(3)
i
+ α
h
4
12
f
(5)
i
− (β + γ)f
(1)
i
−
h
2
2
β
6
+
2γ
3
f
(3)
i
−
h
4
60
β
2
+ 8γ
f
(5)
i
+ O(h
6 ).
On construit des sch´ emas du second ordre en annulant le coefficient de f
(1)
i ,
c’est-` a-dire 2α + 1 = β + γ ; des sch´ emas d’ordre 4 en annulant aussi le coefficient de f
(3)
i
: 6α = β + 4γ ; et des sch´ emas d’ordre 6 en annulant aussi le
coefficient de f
(5)
i
: 10α = β + 16γ.
Le syst` eme lin´ eaire form´ e par ces trois derni` eres relations est non singulier.
Ainsi, il existe un unique sch´ ema d’ordre 6 et il correspond aux param` etres
α = 1/3, β = 14/9, γ = 1/9.
(9.66)
Il existe en revanche une infinit´ e de m´ ethodes du second et du quatri` eme ordre.
Parmi celles-ci, citons un sch´ ema tr` es utilis´ e qui correspond aux coefficients
α = 1/4, β = 3/2 et γ = 0. Des sch´ emas d’ordre plus ´ elev´ e peuvent ˆ etre
construits au prix d’un accroissement suppl´ ementaire du stencil.
Les sch´ emas aux diff´ erences finies traditionnels correspondent au choix
α = 0 et permettent de calculer de mani` ere explicite l’approximation de la
d´ eriv´ ee premi` ere de f en un noeud, contrairement aux sch´ emas compacts qui
n´ ecessitent dans tous les cas la r´ esolution d’un syst` eme lin´ eaire de la forme
Au = Bf (avec des notations ´ evidentes).
Pour pouvoir r´ esoudre le syst` eme, il est n´ ecessaire de se donner les valeurs des
variables u i pour i < 0 et i > n. On est dans une situation particuli` erement
9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
o` u i = 2, . . . , n − 2 et o` u on a pos´ e pour abr´ eger f i = f(x i ).
Les coefficients α, β et γ doivent ˆ etre d´ etermin´ es de mani` ere ` a ce que
les relations (9.64) conduisent `
a des valeurs de u i qui approchent f
(x i ) `
a
l’ordre le plus ´ elev´ e par rapport `
a h. Pour cela, on choisit des coefficients qui
minimisent l’erreur de consistance (voir Section 2.2)
σ i (h) = αf
(1)
i−1 + f
(1)
i − αf
(1)
i+1 −
β
2h
(f i+1 − f i−1 ) +
γ
4h
(f i+2 − f i−2 )
. (9.65)
Cette formule est obtenue en “injectant” f dans le sch´ ema num´ erique (9.64).
Pour abr´ eger, on pose f
(k)
i
= f
(k) (x i ), k = 1, 2, . . ..
Plus pr´ ecis´ ement, en supposant que f ∈ C
5 ([a, b]) et en ´ ecrivant le d´ eveloppement de Taylor en x i , on trouve
f i±1 = f i ± hf
(1)
i
+
h
2
2 f
(2)
i
±
h
3
6 f
(3)
i
+
h
4
24 f
(4)
i
±
h
5
120 f
(5)
i
+ O(h
6 ),
f
(1)
i±1 = f
(1)
i
± hf
(2)
i
+
h
2
2 f
(3)
i
±
h
3
6 f
(4)
i
+
h
4
24 f
(5)
i
+ O(h
5 ).
Par substitution dans (9.65), on obtient
σ i (h) = (2α + 1)f
(1)
i
+ α
h
2
2
f
(3)
i
+ α
h
4
12
f
(5)
i
− (β + γ)f
(1)
i
−
h
2
2
β
6
+
2γ
3
f
(3)
i
−
h
4
60
β
2
+ 8γ
f
(5)
i
+ O(h
6 ).
On construit des sch´ emas du second ordre en annulant le coefficient de f
(1)
i ,
c’est-` a-dire 2α + 1 = β + γ ; des sch´ emas d’ordre 4 en annulant aussi le coefficient de f
(3)
i
: 6α = β + 4γ ; et des sch´ emas d’ordre 6 en annulant aussi le
coefficient de f
(5)
i
: 10α = β + 16γ.
Le syst` eme lin´ eaire form´ e par ces trois derni` eres relations est non singulier.
Ainsi, il existe un unique sch´ ema d’ordre 6 et il correspond aux param` etres
α = 1/3, β = 14/9, γ = 1/9.
(9.66)
Il existe en revanche une infinit´ e de m´ ethodes du second et du quatri` eme ordre.
Parmi celles-ci, citons un sch´ ema tr` es utilis´ e qui correspond aux coefficients
α = 1/4, β = 3/2 et γ = 0. Des sch´ emas d’ordre plus ´ elev´ e peuvent ˆ etre
construits au prix d’un accroissement suppl´ ementaire du stencil.
Les sch´ emas aux diff´ erences finies traditionnels correspondent au choix
α = 0 et permettent de calculer de mani` ere explicite l’approximation de la
d´ eriv´ ee premi` ere de f en un noeud, contrairement aux sch´ emas compacts qui
n´ ecessitent dans tous les cas la r´ esolution d’un syst` eme lin´ eaire de la forme
Au = Bf (avec des notations ´ evidentes).
Pour pouvoir r´ esoudre le syst` eme, il est n´ ecessaire de se donner les valeurs des
variables u i pour i < 0 et i > n. On est dans une situation particuli` erement