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9 Polynˆ omes orthogonaux en th´ eorie de l’approximation
e
−ikx = cos(kx) − i sin(kx) et en posant
a k =
1
2π
2π
0
[α(x) cos(kx) + β(x) sin(kx)] dx,
b k =
1
2π
2π
0
[−α(x) sin(kx) + β(x) cos(kx)] dx,
on peut ´ ecrire les coefficients de Fourier de la fonction f :
f k = a k + ib k
∀k = 0, ±1, ±2, . . .
(9.52)
Nous supposerons dans la suite f ` a valeurs r´ eelles ; dans ce cas
f −k =
f k pour
tout k.
Soit N un entier positif pair. Comme nous l’avons fait `
a la Section 9.1,
nous appelons troncature d’ordre N de la s´ erie de Fourier la fonction
f
∗
N (x) =
N
2 −1
k=−
N
2
f k e
ikx .
Nous utilisons la lettre N majuscule au lieu de n afin de nous conformer `
a
la notation usuellement adopt´ ee dans l’analyse des s´ eries de Fourier discr` etes
(voir [Bri74], [Wal91]). Pour simplifier les notations nous effectuons aussi une
translation d’indice de fa¸ con `
a avoir
f
∗
N (x) =
N−1
k=0
f k e
i(k−
N
2 )x ,
o` u maintenant
f k =
1
2π
2π
0
f(x)e
−i(k−N/2)x dx =
1
2π
(f,
ϕ k ), k = 0, . . . , N − 1
(9.53)
et
ϕ k = e
i(k−N/2)x . En notant
S N = vect{
ϕ k , 0 ≤ k ≤ N − 1},
si f ∈ L
2 (0, 2π), sa troncature d’ordre N satisfait la propri´ et´ e d’approximation
optimale au sens des moindres carr´ es :
− f
∗
N L 2 (0,2π) = min
g∈SN
f − g L 2 (0,2π) .