9.9 Polynˆ ome trigonom´ etrique de Fourier
355
Posons h = 2π/N et x j = jh, pour j = 0, . . . , N − 1, et introduisons le
produit scalaire discret
(f, g) N = h
N−1
j=0
f(x j )g(x j ).
(9.54)
En rempla¸ cant (f,
ϕ k ) dans (9.53) par (f,
ϕ k ) N , on obtient les coefficients de
Fourier de la fonction f
f k =
1
N
N−1
j=0
f(x j )e
−ikjh e
ijπ
=
1
N
N−1
j=0
f(x j )W
(k−
N
2 )j
N
, k = 0, . . . , N − 1,
(9.55)
o` u
W N = exp
−i
2π
N
est la racine principale d’ordre N de l’unit´ e. Conform´ ement ` a (9.5), le polynˆ ome trigonom´ etrique
Π
F
N f(x) =
N−1
k=0
f k e
i(k−
N
2 )x
(9.56)
est appel´ e s´ erie de Fourier discr` ete d’ordre N .
Lemme 9.1 On a la propri´ et´ e suivante
(ϕ l , ϕ j ) N = h
N−1
k=0
e
−ik(j−l)h = 2πδ jl ,
0 ≤ l, j ≤ N − 1,
(9.57)
o` u δ jl est le symbole Kronecker.
D´ emonstration. Pour l = j le r´ esultat est imm´ ediat. Dans le cas l = j, on a
N −1
k=0
e
−ik(j−l)h =
1 −
e
−i(j−l)h
N
1 − e −i(j−l)h = 0
car le num´ erateur vaut 1 − (cos(2π(j − l)) − i sin(2π(j − l))) = 1 − 1 = 0, et le
d´ enominateur ne s’annule pas puisque j − l = N i.e. (j − l)h = 2π.
3
D’apr` es le Lemme 9.1, le polynˆ ome trigonom´ etrique Π
F
N f est l’interpol´ e de
Fourier de f aux noeuds x j , c’est-` a-dire
Π
F
N f(x j ) = f(x j ),
j = 0, 1, . . ., N − 1.